分离变量法——数学物理定解问题PPT课件.ppt
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1、第二章第二章第二章第二章 分离分离分离分离变变变变量法量法量法量法1-2.0 预备知识常微分方程2-二二阶阶常系数常系数线线性方程的性方程的标标准形式准形式2.0 2.0 预备预备预备预备知知知知识识识识常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程3-特征根特征根(1)(1)有两个不相等的有两个不相等的实实根根两个两个线线性无关的特解性无关的特解得得齐齐次方程的通解次方程的通解为为齐齐次方程次方程特征方程特征方程2.0 2.0 预备预备预备预备知知知知识识识识常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程4-(2)有两个相等的实根齐次方程的通解为特解为(3)有一对共轭复根齐次方程的通解为特征根为特解为2
2、.0 2.0 预备预备预备预备知知知知识识识识常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程5-2.0 2.0 预备预备预备预备知知知知识识识识常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程6-二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解通解结结构构二阶常系数非齐次线性方程2.0 2.0 预备预备预备预备知知知知识识识识常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程7-2.1 有界弦的自由振动 8-分离分离变变量法是求解偏微分方程最基本和常量法是求解偏微分方程最基本和常用的方法。用的方法。理理论论依据:依据:线线性方程的叠加原理和性方程的叠加原理和Sturm-Sturm-LiouvilleLiouville 理理论
3、论。基本思想:将偏微分方程的求解化基本思想:将偏微分方程的求解化为对为对常常微分方程的求解微分方程的求解2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动9-2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动 研究两端固定均匀的自由振动.定解问题为:特点:方程齐次,边界齐次.10-(1)没有波形的传播,即各点振动相位与位置无关,按同一方式随时间振动,可统一表示为 ;(2)各点振幅 随点 而异,而与时间无关,用 X(x)表示,所以驻波可用 表示。驻驻波的特点:波的特点:端点会引起波的反射,弦有限长,波在两端点之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻波。2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振
4、动动11-2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动 设 且 不恒为零,代入方程和边界条件中得 由 不恒为零,有:取参数这这个式子的左端是个式子的左端是x的函数的函数,右端是右端是t的函数,何的函数,何时时恒等?恒等?12-.利用边界条件2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动13-则 特征值问题 参数称为特征值.分三种情形讨论特征值问题的求解函数X(x)称为特征函数2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动14-2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动由边值条件(i)方程通解为 (ii)时,通解 由边值条件得C1 1=C 2 2=0=0 从而 ,无意无意义义.无意
5、无意义义15-2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动 由边值条件从而 即(iii)时,通解 故而得16-2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动再求解T:其解为 所以 两端两端固定固定弦本弦本的征的征振振动动叠加.17-2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动将 展开为Fourier级数,比较系数得 代入初始条件得:定解问题的解是Fourier正弦级数,这是在 x0 0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。18-再求解T:其解为 所以 两端两端固定固定弦本弦本的征的征振振动动叠加.2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动19-将 展开为Fourier级数
6、,比较系数得 代入初始条件得:2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动 定解问题的解是Fourier正弦级数,这是在 x0 0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。20-(特征(特征值问题值问题)齐齐次次边边界条件界条件(特征函数)(特征函数)分离分离变变量法量法图图解解 2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动21-则无穷级数解为如下混合问题的解上,且 定理定理:若在区间2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动22-弦上各点的频率 和初位相 都相同,因而没有波形的传播现象。弦上各点振幅 因点而异 在 处,振幅永远为0 二、解的物理意二、解的物理意义义 节点腹点特
7、点特点最大振幅最大振幅频频率率初位相初位相在 处,振幅最大,为 nNu(x,t)是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。n1 1的驻波称为基波,n11的驻波叫做n次谐波.2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动23-例例1 1 设有一根长为10个单位的弦,两端固定,初速为零,初位移为 ,求弦做微小横向振动时的位移,其中 与弦的材料和张力有关.解解 设位移函数为 ,则需要求解下列定解问题2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动24-因此,所求的解为:=2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动25-解:令 ,得 化简:例2:研究两端自由棒的自由纵振动问题.第二
8、第二类边类边界条件界条件引入参数 得 2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动26-2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动得C1=C 2=0 从而 ,无意义 分离变量:(i)时,由边值条件27-(ii)时,(iii)时,则 而 由边值条件由边值条件从而2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动28-本征值 本征函数 2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动T 的方程其解为 29-所以 故代入初始条件:将 展开为傅立叶余弦级数,比较系数得 解为傅立叶余弦级数,由端点处的二类齐次边界条件决定.2.1 2.1 有界弦的自由振有界弦的自由振动动30-2.2 有限长杆的热
9、传导问题31-例例1 1细杆的热传导问题 长为 l 的细杆,设与细杆线垂直截面上各点的温度相等,侧面绝热,x=0 端温度为0,x=l 端热量自由散发到周围介质中,介质温度恒为0,初始温度为 求此杆的温度分布。解:定解问题为 2.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题32-得本征问题 由 及齐次边界条件,有 设 且 并引入参数分离变量代入方程2.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题33-当 或 时,当 时,由 得 由 得 故 即 令有函数方程2.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题34-由图1看出,函数方程有成对的 无穷多 个实根故本征值为:ry图图
10、 1 12.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题35-2.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题对应的本征函数 的方程:解为故 由初始条件得可以证明函数系 在 上正交,在(*)式两端乘以 并在 0,l 上积分,得 且模值36-(二)利用边界条件,得到特征值问题并求解(三)将特征值代入另一常微分方程,得到(四)将 叠加,利用初始条件确定系数(一)将偏微分方程化为常微分方程(方程齐次)分离分离变变量法解量法解题题步步骤骤(边界条件齐次)2.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题37-分离变量法适用范围:偏微分方程是线性齐次的,并且边界条件也是齐次的。其求
11、解的关键步骤:确定特征函数和运用叠加原理。注注2.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题38-左端点左端点右端点右端点特征特征值值特征函数特征函数 取取值值范范围围 一一 一一一一 二二 二二 二二二二一一课课堂堂练习练习总结总结:端点边界条件与特征值,特征函数的关系2.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题39-练习练习:求下列定解求下列定解问题问题的解的解 其中其中2.2 2.2 有限有限长长杆的杆的热传导问题热传导问题40-2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题41-2.3 2.3 二二维维拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的边值问题边值问题1.矩形域上拉普拉斯方程的矩形
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