一元二次方程解法——因式分解、配方法.doc

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一元二次方程解法——因式分解、配方法
知识点回顾：
定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
解法一 ——直接开方法
适用范围：可解部分一元二次方程
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n
归纳小结：
共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”． 由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解
自主练习：1：用直接开平方法解下列方程：
（1）；　　 （2）；

（3）． （4）

（5）；　　 （6）； （7）；　　　

2. 关于的方程的根 　，　　．
3. 关于的方程的解为　　　　　
解法二——分解因式法
适用范围：可解部分一元二次方程
因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
解下列方程．
（1）2x2+x=0 （2）3x2+6x=0
上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:
2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）
因此，上面两个方程都可以写成：
（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是：
（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
例1．解方程
（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4
分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式
解：（1）移项，得：4x2-11x=0
因式分解，得：x（4x-11）=0
于是，得：x=0或4x-11=0
x1=0，x2=
（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0
（x-2）2-2（x-2）=0
因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0
整理，得：（x-2）（x-4）=0
于是，得x-2=0或x-4=0
x1=2，x2=4
例2．已知9a2-4b2=0，求代数式的值．
分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．
解：原式=
∵9a2-4b2=0
∴（3a+2b）（3a-2b）=0
3a+2b=0或3a-2b=0，
a=-b或a=b
当a=-b时，原式=-=3， 当a=b时，原式=-3．

例3．（十字相乘法）我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0

上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．
一：用因式分解法解下列方程：
(1)y2＋7y＋6＝0； (2)t(2t－1)＝3(2t－1)；

(3)(2x－1)(x－1)＝1． (4)x2＋12x＝0；

(5)4x2－1＝0； (6)x2＝7x；

(7)x2－4x－21＝0； (8)(x－1)(x＋3)＝12；

(9)3x2＋2x－1＝0； (10)10x2－x－3＝0；

(11)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．

解法三——配方法
适用范围：可解全部一元二次方程
引例：：x2+6x-16=0
x2+6x-16=0移项→x2+6x=16
两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9
左边写成平方形式 → （x+3）2=25 降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5
解一次方程→x1=2，x2= -8
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)先将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
用配方法解一元二次方程小口诀
　　 二次系数化为一；常数要往右边移；一次系数一半方；两边加上最相当
例1．用配方法解下列关于x的方程
（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0
分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．

例3．解下列方程
（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．

拓展题．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6
分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．
解：设6x+7=y
则3x+4=y+，x+1=y-
依题意，得：y2（y+）（y-）=6
去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72
y2（y2-1）=72， y4-y2=72
（y2-）2=
y2-=±
y2=9或y2=-8（舍）
∴y=±3
当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-
当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-
所以，原方程的根为x1=-，x2=-
例5. 求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0.

一元二次方程解法——因式分解、配方法
2013-7-14 15008620708（李老师） 姓名：
（一）1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= ，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2 D．x2=x 两边同除以x，得x=1
2．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（ ）．
A．- B．-1 C． D．1
4．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．
5．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．
6．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．
7.方程x(x－)＝ －x的解为__________．
8．用因式分解法解下列方程．
（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0

（3）x2-12x-28=0 （4）x2-12x+35=0

9．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．

（二）1．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ）．
A．（x-）2= B．（x-）2=0 C．（x-）2= D．（x-）2=
2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．
A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（x-a）2=a
3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）．
A．1 B．2 C．-1 D．-2
4．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）．
A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3
5．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
6．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ）．
A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9
7．方程x2+4x-5=0的解是________．
8.方程左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ．
9．代数式的值为0，则x的值为________．
10．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．
11．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．
12．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．
13．用配方法解方程．
（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x

（3） （4）

（5） （6）

14．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．

15.用配方法证明：
（1）的值恒为正； （2）的值恒小于0．

（3）多项式的值总大于的值．

16.用适当的方法解下列方程
（1）x2-4x-3=0         （2）（3y-2）2=36 （3）x2-4x+4=0

（4） （5）(2x＋3)2－25＝0.

（6） （7）（x-1）2=2x-2 （8）6x2-x-2=0

（9）(3x+1)2=7　　 　 （10）9x2-24x+16=11

（11）4(x+2)2-9(x-3)2=0 　　 　　　 （12）(x+5)(x-5)=3

（13）3x2+1=2x 　 　 （14）(2x+3)2+5(2x+3)-6=0

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