高三理科数学026.doc

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期数 0510 SXG3 026
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

[同步教学信息]
预 习 篇

预习篇十八 函数的极值

【教材阅读提示】
1．函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义域内可能有多个极大值或极小值，并且函数要在这一点处连续.
2．对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是这一点处的导数为0；其一点是极值点的充分条件是这一点两侧的导数异号.
3．在利用导数求函数的极大值和极小值时，首先要确定函数的定义区间；其次，为了清楚起见，可以用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格；最后根据表格确定函数的极值.

【基础知识精讲】
一、知识结构

二、重要内容提示
设函数在点及其附近有意义，如果对附近的所有点，都有，则称是函数的一个极大值，记作：. 如果对附近的所有点，都有，则称是函数的一个极小值，记作：.
极大值与极小值统称为极值.
说明：1．点及其附近有定义，是指在点及其一邻域都有定义. 显然，端点及其间断点不可能成为其极值点.
2．函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某点附近函数值的情况，即如果某点的函数值比附近的每一点的函数值都大，则为极大值；如果比附近的每一点的函数值都小，则为极小值.
3．极大值未必比极小值大；而极小值未必比极大值小.
4．可导函数的某点是其极值点的必要条件是这点的导数为零. 其充分条件是这点两侧的导数异号.
5．可导函数的导数为0的点不一定是极值点，如，在处，虽然有,但不是极值点.

【典型例题解析】
例1 求函数的极值.
解：
令，则，
当变化时，的变化情况如下表：
x

－1
（－1,1）
1

－
0
+
0
－
y
↘
极小值
↗
极大值
↘
∴，.
　　例2．求函数y=的极值 。
解：的定义域为R，且=
可知时，；而和时，不存在．
当变化时，的变化情况如下表：
x
（-，0）
0
（0，1）
1
（1，2）
2
（2，+）

—
不存在
+
0
-
不存在
+

极小值
0

极大值1

极小值
0

函数极小值为，极大值为。
　　说明：函数的导数不存在的点也可能是极值点．
例3 设函数，在x=－1和x=－1处有极值，且f(1)=－1，求a、b、c的值，并求函数的极值.
分析：此题属于逆向思维，仍可根据求函数极值的步骤来求，但要注意极值点与导数之间的关系：极值点为的根. 利用这一关系，来用待定系数法求a, b, c.
解：，
∵x=1, x=－1为函数极值点，
则1,－1为方程，即的两根，
①
②
∴
又f(1)=－1，∴a+b+c=－1 ③
解得，
此时，∴.

当变化时，的变化情况如下表：
x

－1
（－1,1）
1

+
0
－
0
+
y
↗
极大值1
↘
极小值－1
↘
∴ .
例4 ．设函数
（１）求导数；并证明有两个不同的极值点；
（２）若不等式成立，求实数的取值范围．
解：（１）．令．
因，故方程有两个不同实根．
不妨设
当
因此，是极大值点，是极小值点．
（２）因得不等式．
即
由（１）知代入前面不等式，两边除以（并化简得
．解得．
因此，当时，不等式成立．

【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
C．如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值
D．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
2．已知函数，在处函数极值的情况是（ ）
A．没有极值 B．有极大值 C． 有极小值 D．极值情况不能确定
3．若函数是定义在R上的可导函数，则是为函数的极值点的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．对于函数，给出下列四个命题：
（1）f(x)是增函数，无极值；
（2）f(x)是减函数，无极值；
（3）f(x)的递增区间为，递减区间为(0,2)；
（4）f(0)=0是极大值，f(2)=－4是极小值.
其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
5．函数的极大值为______，极小值为_______.
6．函数，当x=____时，取得极大值______；当x=_____时取得极小值_______.
同步检测[※※级]
一、选择题
1．函数在(0,1)内有极小值，则（ ）
A．b＜1 B．0＜b＜1 C．b＞0 D．
2．设函数，且f(0)=0为函数的极值，则有（ ）
A．c≠0 B．b=0
C．当a＞0时，f(0)为极大值 D．当a＜0时，f(0)为极小值
3．已知函数在x=3处有极值，则函数的递减区间是（ ）
A． B．(1,5)
C．(2,3) D．
4．函数的极小值为（ ）
A． B．0 C． D．1
二、填空题
5．函数的极大值是________.
6．函数f(x)=的单调增区间为_______，单调减区间为__________.
三、解答题
7．已知函数在Ｒ上为奇函数，当时取得极值－２．
求的单调区间和极大值．
8．已知函数，仅当x=－1，x=1时取得极值，且极大值比极小值大4，①求常数a, b; ②求f(x)的极值.

参考答案
同步落实[※级]
一、1．B 2．C 3．B 4．B
二、5． 6．0，0； 2，4
同步检测[※※级]
一、1．B 2．B 3．C 4．B
二、5．－1 6．
三、7．解：由奇函数的定义，应有，
即 ∴
因此，
由条件为的极值，必有，故
解得，
因此，，，
当时，，故在单调区间上是增函数
当时，，故在单调区间上是减函数
当时，，故在单调区间上是增函数
所以，在处取得极大值，极大值为
8．解：①.∵仅当x=－1，x=1时取得极值，
∴方程，即只有两个实数根x=±1，
则 ，即5+3a+b=0，∴b=－3a－5，
此时：

且无实根，∴恒成立.
此时：
x

－1
（－1,+1）
1

+
0
－
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↘
∴极大值为f(－1)，极小值为f(1)，
又由题意f(－1)－f(1)=4,
∴,
又b=－3a－5，
∴a=－1, b=－2.
② 由①得，极大值为f(－1)=3, 极小值为f(－1)=－1.