衡水中学2012届高三上学期数学（理科）试题.doc

河北省衡水中学2012届高三上学期五调考试
数学（理）试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.若复数是纯虚数,则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列四个函数中，在区间，上是减函数的是( )
. . . .
3. 在等差数列中，，则数列前9项的和等于（ ）
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
A. 24 B. 48 C. 72 D. 108
4.为了解儿子身高与其父亲身高的关
系，随机抽取5对父子的身高数据如
下： 则y对x的线性回归方程为
(　　)
A． B. C． D.
5. 某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(百分制)如下表所示：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩
95
75
80
94
92
65
67
84
98
71
物理成绩
90
63
72
87
91
71
58
82
93
81

序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学成绩
67
93
64
78
77
90
57
83
72
83
物理成绩
77
82
48
85
69
91
61
84
78
86
某数学成绩90分(含90分)以上为优秀，物理成绩85分(含85分)以上为优秀．
有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系（ ）
A. 99.9% B. 99% C. 97.5% D. 95%
6. 二项式的展开式中的常数项是（ )
A.第10项 B.第9项 C.第8项 D:第7项
7. 已知，则( )
A. B. C. D.
8. 过点且与曲线相交所得弦长为的直线方程为( )
A． B．或
C．或 D．或
9. 已知两点，为坐标原点，若，则实数t的值为( )
A. B. C.1 D.
10. 把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票分发给4个人，每人至少1张，最多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）
A.168 B.96 C.72 D.144
11. 某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
12．方程有且仅有两个不同的实数解，则以下有关两根关系的结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．

第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为
14.在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b=
15. 双曲线的离心率为，则的最小值为
16. 对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则
数列的前项和的公式是__________．
三、解答题（共6个小题，共70分）
17. （本题满分12分）为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题：
分组
频数
频率
60.5～70.5

0.16
70.5～80.5
10

80.5～90.5
18
0.36
90.5～100.5

合计
50

(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000,001,002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；
(2)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)，并作出频率分布直方图；
(3)若成绩在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？

18．（本题满分12分）如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点.
（1）求证：AB1// 面BDC1；
　 （2）求二面角C1—BD—C的余弦值；
（3）在侧棱AA1上是否存在点P，使得
CP⊥面BDC1？并证明你的结论.

A
C
D
M
O
Q
F
B
P
19.（本题满分12分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径 ，，与之间的夹角为.
（1）将图书馆底面矩形的面积表示成的函数.
（2）若，求当为何值时，矩形的面积有最大值？
其最大值是多少？

20．（本题满分12分）如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且为钝角，若
，.
（1）求曲线和的方程；
（2）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.

21．（本题满分12分） 设函数（），．
(1) 将函数图象向右平移一个单位即可得到函数的图象，试写出的解析式及值域；
(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；
(3) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.本题满分10分。
22．选修4-1：几何证明选讲
如图，是⊙的直径，是⊙的切线，与的延长线交于点，为切点．若，，的平分线与和⊙分别交于点、，求的值．

A
C
E
B
P
D
O
•

23.选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线（为参数）．
（1）将的方程化为普通方程；
（2）若点是曲线上的动点，求的取值范围．

24.选修4-5：不等式选讲
已知不等式
（1） 若，求不等式的解集；
（2） 若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围。

2011—2012上高三五调理科数学答案

1. 答案A
【解析】,
2. 【答案】B
【解析】选项B是反比例函数,其图象在第一、三象限，故选B.
3. 答案D【解析】因为

4．[答案]　C
[解析]　解法一：＝＝176，
＝＝176
＝＝，＝－＝88，所以y＝88＋x.
解法二：因为＝176，＝176，又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点(，)，所以将(176,176)代入选项A、B、C、D中检验知选C.
5. 答案 B
　(1)表格为
　数学成绩
物理成绩　 　　
优秀
不优秀
合计
优秀
5
2
7
不优秀
1
12
13
合计
6
14
20
(2)提出假设H0：学生的数学成绩与物理成绩之间没有关系．
根据上述列联表求得k＝≈8.802.
当H0成立时，K2(χ2)>6.635的概率约为0.01，而这里8.802>6.635，
所以我们有99%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系．
6. 答案B
【解析】展开式的通项公式展开式中常数项是第9项，
7. 答案C
【解析】
8.答案C
【解析】
9. 答案A答案【解析】

10.答案D
11.答案C
通过三视图可以想象出几何体一个三棱锥和一个圆柱的一半组合而成，其中棱锥的底面是边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为3，半圆柱为底面半径为1，母线长为3，计算表面积为

12. 【答案】A
【解析】解：依题意可知x＞0（x不能等于0）
令，，然后分别做出两个函数的图象．
因为原方程有且只有两个解，所以与仅有两个交点，而且第二个交点是与相切的点，即点（θ，|sinθ|）为切点，因为（sinθ）′=cosθ，所以切线的斜率k=cosθ．而且点（φ，sinφ）在切线上．于是将点（φ，sinφ）代入切线方程可得：sinφ=φcosθ．
13．【答案】
解析：利用体积相等可以计算出圆锥的高等于底面半径的2倍，即，
14. 【答案】
解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.
解法二:由余弦定理得: .又,.
所以 ①
又，
，即
由正弦定理得，故 ②
由①，②解得.
15. 【答案】2
解析：利用离心率可以得a,b,c,的关系，再利用均值不等式即可。
16.【答案】
【解析】
，[
故所求的切线方程为
，则

17.[解析]　(1)编号为016. ------3分
(2)
分组
频数
频率
60.5～70.5
8
0.16
70.5～80.5
10
0.20
80.5～90.5
18
0.36
90.5～100.5
14
0.28
合计
50
1

(3)在被抽到的学生中获二等奖的人数9＋7＝16(人)，占样本的比例是＝0.32，即获二等奖的概率为32%，所以获二等奖的人数估计为800×32%＝256(人)．
答：获二等奖的大约有256人．
评分细则：
（1）2分
（2）表格5个空每一个空1分，频率分布直方图准确规范3分，
（3）答对256给2分

18.
（I）证明：
连接B1C，与BC1相交于O，连接OD
∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点.又D是AC的中点，
∴OD//AB1.∵AB1面BDC1，OD面BDC1
∴AB1//面BDC1.
（II）解：如力，建立空间直角坐标系，则
C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）
设=（x1，y1，z1）是面BDC1的一个法向量，则
即.…………6分
易知=(0，3，0)是面ABC的一个法向量.
∴二面角C1—BD—C的余弦值为
（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.
则
∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.
评分细则：每一问4分。
18.解析：该题是课本上的习题的改编题，（Ⅰ）中主要考查直角三角形的边
角关系以及扇形中的有关计算，还考查函数建模问题；（Ⅱ）考查三角函
A
C
D
M
O
Q
F
B
P
数的和角公式以及在区间上的值域问题；该题主要考查三角函数的应用和建模问题，还考查转化与化归，属于中档偏上题。

所以当 ，即 时，S有最大值.
.
故当时，矩形ABCD的面积S有最大值. …………………12分
20. 【答案】(1)椭圆方程为，抛物线方程为.
(2)为定值3.
【解析】（1）解法一：设椭圆方程为，则，
得.
设，则，，
两式相减得，由抛物线定义可知，则或 （舍去）
所以椭圆方程为，抛物线方程为.
解法二：过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线，作垂直于该准线，
作轴于，则由抛物线的定义得，
所以

，
得，所以c＝1，
(，得）,
因而椭圆方程为，抛物线方程为.
（2）设把直线

评分细则：第一问4分，第二问8分
21．解析: (1)简单考查函数图像的平移及值域的不变性; (2)该题考查把不等式的解集中的整数恰有3个转化为解集的两个端点所在区间问题,从而把问题转化为研究二次方程的根的分布问题;又由于转化后的不等式可以分解因式因此可以化为更简单的问题求解; (3)该题一般的思考应该是分两次研究两个恒成立问题,含有两个参数,增加问题的难度,如果能转化为求公共切线问题,就可以使问题得到简化,因此可以想到这两条曲线是否存在公共点,即探讨两曲线的交点,再研究过交点的公共切线;该题考查函数性质、数形结合、解不等式、导数及其运用、分类讨论、转化化归能力、分析问题解决问题能力，其中(1)是简单题, (2)是中档题, (3)是难题。
21解：（1），值域为　　　　　　　　　…………2分
（2）解法一:不等式的解集中的整数恰有3个，
等价于恰有三个整数解，故，　　　　　　
令，由且，
所以函数的一个零点在区间，
则另一个零点一定在区间，　　　　　　　　　　　　　　　　　…………4分
故解之得．　　　　　　　　　　　　　　　　　…………6分
解法二：恰有三个整数解，故，即，
，
所以，又因为，　　　…………4分
所以，解之得．　　　　　　　　　　　……6分
（3）设，则．
所以当时，；当时，．
因此时，取得最小值，
则与的图象在处有公共点．　　　　　　　………8分
设与存在 “分界线”，方程为，
即，
由在恒成立，则在恒成立 ．
所以成立，
因此．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………8分
下面证明恒成立．
设，则．
所以当时，；当时，．
因此时取得最大值，则成立．
故所求“分界线”方程为：．　　　　　　　　　　　　…………12分

选考题（本小题满分10分）
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
A
C
E
B
P
D
O
•
22. 选修4-1：几何证明选讲
【证明】证明：连结，，，，
，．又 与⊙相切于点，，
∽，．
为⊙的直径，，．
可解得，． 又平分，，
又，∽，

23. (本小题满分10分）

【解析】（Ⅰ），
① 若，则，，舍去．
② 若，则，．
③ 若，则，．
综上，不等式的解集为．
（Ⅱ）设，则
，
，．
评分细则：每一位5分
- 15 -
高考志愿：