排列组合中的“分配”问题的探究.doc

对排列组合中的“分配”问题的探究
山东 王光天 林敬霞
知识整合：
一、解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列还是组合问题，牢记排列数和组合数的公式以及组合数的性质，容易产生的错误主要是在分类的过程中，标准不明确，前后不统一，要么重复，要么遗漏，因此在解题时要认真的分析题目的条件，作出正确的分类或分步；
二、解决排列组合综合问题时，要注意
① 把具体问题转化为排列或组合问题。
② 通过分析确定是采用分类计数原理还是分步计数原理。
③ 分析题目的条件，避免选取时重复或遗漏。
④ 列处计算公式，通过排列数或组合数公式计算结果。
下面对排列组合中的“分配”问题做出简单的探究
排列组合中的“分配”问题是排列组合中的一类常见问题，如：教师分配到班级中教学；护士、医生分配的学校给学生查体；小球放置在有标号的盒子里等都是排列组合中的常见“分配问题”；下面通过例题，对常见的几种“分配”问题简单作出探究：
1、相同元素的“分配”问题
例1、有10名三好学生名额，分配到高三年级的6个班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案？
分析：作为10个三好学生名额，可以看成是相同元素，分配到高三年级的6个班中，将是相同元素的分配问题，常用的方法是采用“隔板法”；
解：6个班分10个名额，用5个隔板，将10个名额并成一排，
，名额之间有9个空隙，将5个隔板插入9个空中，
则每种插法对应一种方案，共有中不同的分配方案；
变式练习：
将6个相同的小球放进三个不同的盒子，每个盒子都不空，共有多少中不同的放法？
2、 不同元素的“分配”问题
分析：不同元素的“分配”问题，有时比较容易混淆，作为分配问题，可以分两步来完成，先分组后发放的原则，这样就对分配问题有更加明确的理解；
例2、有不同的6本书分别分给甲、乙、丙三人，
⑴如果甲1本，乙2本，丙3本有多少种方法？
⑵如果一人1本，一人2本，一人3本，共有多少种方法？
⑶平均分成3堆，每堆2本，共有多少种分法？
⑷如果每人2本，共有多少种分法？
解：⑴先对6本书进行分组，分成1本2本3本的三组，共有种，
后发放给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本、丙得3本，
所以共有种方法。
⑵先对6本书进行分组，分成1本2本3本的三组，共有种分法，后发放给甲、乙、丙三人有种发放方式，
所以共有：种分配方式；
⑶分析：此题牵扯到不同元素的均分问题，把不同的6本书均分成无明显标志的三堆，例如把不同的两个元素，分成无明显标志的两堆，只有一种分法，即：；
解：把6本不同的书均分成为三堆，共有：种不同的分法；
⑷解：把6本不同的书均分给甲、乙、丙三人，先对6本不同的书作出均分成三组，有种分法，后发放给甲、乙、丙三人，有种方法，
所以，共有种不同的方法；
例3、把6个不同的小球放在编号为的三个盒子里，要求每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？
分析：此题就可以看成把6个小球分配到三个盒子中的一个分配问题，可以看成两步来解决，先分组后发放的原则；
解：先不6个不同的小球，分成三组，分组的方式有：按个数，，分组，按个数分组，则有种；按个数，则有种；
按个数分组，则有种；
后放置在标号为三个盒子，有种方法；
所以，共有种不同的方法；
点评：对于不同元素的分配问题，可以利用分步计数原理，看成是有两步才能完成，一步是分组，二步是发放，这样对排列组合中的分配问题就更加明确，更加容易理解，但在分组中，对于整体均分问题或内部的小均分，要特别注意它的做法。