“意外”启发下的SSA特例.doc

[初中数学论文]
“意外”启发下的SSA特例
------三角形全等的条件2
教学内容
《三角形全等的条件2》选自义务教育课程标准实验教科书《数学》(浙江教育出版社)七年级下册.
设计理念
从意外获得启发,向学生提供了一个充分从事数学活动的机会.激发学生的学习动机,唤起求知欲,帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本数学知识与技能,培养学生创新精神和实践能力,享受学习的快乐.
教学目标
1.运用尺规作图探索三角形全等的条件SAS,培养实验操作能力
2.掌握两个三角形全等的条件SAS
3.培养主动探索,勇于发现,合作交流的品质
教学重点:三角形全等的条件SAS
教学难点:探索三角形全等条件SAS的过程以及特例的构造
教学流程
一.课前准备
作图工具准备:直尺,三角尺,圆规,铅笔,橡皮等
几何知识准备:全等三角形的意义和性质,作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角等.
二.引入 新授 巩固
教师:先请同学们在课堂练习本上用直尺随意画一个⊿ABC,不论边的长短,不论角的大小.”
板书:作⊿A1B1C1,使得A1B1=AB,∠B1=∠B,B1C1=BC.
这些对于学生来说并非一件难事.因为⊿ABC的形状已经事先摆出,比起下一节的作三角形,难度降低不少.而作一条线段等于已知线段是七年级上册的内容,学生掌握良好;作一个角等于已知角,由于蕴涵了SSS公理,已经在上一节提前教学.
学生甲的作法:作∠B1=∠B,作线段A1B1=AB,B1C1=BC.⊿A1B1C1就是所求作的三角形.
同学们对自己得到两个三角形全等的成果感到欣喜.⊿ABC是事先任意给出,作图就有了普遍意味,也更符合实验几何从实践中总结新知识的发展规律.板书中”使得A1B1=AB,∠B1=∠B,B1C1=BC”看似只是作图要求,实际则是加深了学生们对全等条件的印象.
在总结和完成巩固练习之后,通过课内练习3强调SAS条件夹角的重要性.照旧要通过一个反例说明问题,然而出乎意料的是,原本平淡无奇的举例因为两位学生的意外图形再度令整个教学异彩纷呈,满室生辉.
三.反例
课内练习3.如果两个三角形有两边和一个角对应相等,这样的两个三角形一定全等吗?
教师提示:SAS条件说,两边必须是夹这个角的两边,不然又会怎么样呢?请同学们再来用尺规作⊿A1B1C1,使得∠B1=∠B,A1B1=AB,C1A1=CA.
板书:作⊿A1B1C1,使得∠B1=∠B,A1B1=AB,C1A1=CA.
有了比较明确的作图方向,学生们尝试着在课堂练习本上做起来.在教师的巡视帮助之下,很快就有学生得出反例
学生乙的作法:作∠B1=∠B,A1B1=AB.以A1为圆心,CA长为半径作圆弧交∠B1的另一边于C1,D1. ⊿A1B1C1与⊿A1B1D1都是所求作的三角形.
教学反例的成功构造不仅要求学生对真命题本身能牢固掌握,而且要求有广泛全面的思考问题能力,因此对大多数学生来说困难不小.依赖尺规作图的可操作性,这个反例的举出只是为了促进学生对SAS夹角条件的强化,并不作为教学重点.但是在巡视过程中,我却意外发现了另外两种与众不同的图形效果.正是由于学生对这两种作图的疑惑,让我意识到对反例的说明不能如原先打算一般轻描淡写,翩然收场,而是需要作进一步的深入.
四.特殊全等
SSA命题叙述:如果两个三角形有两边和其中一组对应边的对角对应相等,那么这样的两个三角形全等.
学生丙的作法:作∠B1=∠B,作线段B1A1=BA.以A1为圆心,AC长为半径作圆弧与∠B1的另一边只相交于一点C1.⊿A1B1C1就是所求作的三角形.⊿A1B1C1≌⊿ABC!
圆弧与∠B1的边只产生一个交点(切点),完全缘于⊿ABC的特殊性.我让学生观察学生丙的图形,并且提出了这样一个要求:请同学们观察思考∠ACB与∠A1C1B1的度数!
学生们发现这两个角都是直角.
教师:这位同学非常聪明,想出了SSA的特殊全等条件.但是大多数同学的图形中,圆弧与∠B1的边都有两个交点.因此符合作图条件的三角形有两个.请问得到的两个三角形是不是都和全等呢?
学生:一个和⊿ABC全等,另一个和⊿ABC不全等.
教师:那么就请同学们回忆一下,三角形按内角大小可以分为哪几种类型?
学生:锐角三角形,直角三角形和钝角三角形.
教师:不错.请原来⊿ABC是锐角三角形的同学举手.……观察,与锐角⊿ABC全等的是哪一种类型的三角形,与锐角⊿ABC不全等的又是哪一类型的三角形?
学生:与锐角⊿ABC全等的也是锐角三角形,不全等的是钝角三角形.
用相同的办法,我让原来⊿A1B1C1是钝角三角形的学生观察所作三角形的类型.
学生:与钝角⊿ABC全等的是钝角三角形,不全等的是锐角三角形.
教师:同学们已经知道SSA条件下的两个三角形不一定全等.但是通过刚才的观察,我们发现只要对两个三角形的类型附加条件,它们就能全等.谁能来总结一下?
我分别请三种三角形的同学给出结论.
SSA全等方案1:如果两个三角形都是锐角三角形(直角三角形,钝角三角形),那么SSA成立.
学生丁的作法:作∠B1=∠B,作线段B1A1=BA.以A1为圆心,AC长为半径作圆弧与∠B1的另一边交于C1,与∠B1的这一边的反向延长线交于D1.只有⊿A1B1C1是所求作的三角形.⊿A1B1C1≌⊿ABC!
多数学生的作图与学生乙的相同,少数的与学生丁的相同.这次我引导学生比较自己图形中BA与AC,B1A1与A1C1的长短.
同学们发现,作图效果如学生乙的(圆弧与角的边的两个交点都在射线上) BA>AC,B1A1>A1C1,作图效果如学生丁的(圆弧与角的边的交点分别在射线和射线的反向延长线上) BA<AC,B1A1<A1C1.
SSA全等方案2:如果两个三角形中这个角的对边是两边中的较大边,那么SSA成立.
在这节课开始让学生事先给出⊿ABC时,我曾提示他们画三角形时做到随意一些,前后左右画的是不同类型的三角形.本来是希望他们明白SAS条件对任意三角形都适用,但居然引出SSA全等方案,却是始料不及,意外之余倍感惊喜.
⊿ABC中,∠B取直角,钝角时,SSA条件下的两个三角形也能全等.但是学生所画的∠B都是锐角,此时需要教师作出比较明确的作图提示.
教师:请同学们把⊿ABC中的∠B设计成直角和钝角,然后按SSA的要求画⊿A1B1C1……
学生戊的作法：作∠B1=90°,B1A1=BA..以A1为圆心,AC长为半径作圆弧交∠B1的另一边于C1,交这一边的反向延长线于D1.⊿A1B1C1和⊿A1B1D1都是所求作的三角形.⊿A1B1C1≌⊿ABC,⊿A1B1D1≌⊿ABC.
SSA全等方案3:如果两个三角形的这个对角都是直角,那么SSA成立.
这个方案相当于以后判定直角三角形全等的HL定理.
学生己的作法:作钝角∠B1=∠B,作线段B1A1=BA.以A1为圆心,AC长为半径作圆弧与∠B1的另一边交于C1,与∠B1的这一边的反向延长线交于D1.⊿A1B1C1就是所求作的三角形.⊿A1B1C1≌⊿ABC!
SSA全等方案4:如果两个三角形的这个对角都是钝角,那么SSA成立.
课后反思
一.SSA全等方案的成功构造是课堂教学的意外收获.
二.让每位学生先画一个任意三角形,然后在一定条件下作出与之全等或不全等的三角形.既是为了展示结论的正确性,也是为了使学生体会动脑动手,实验操作对于几何学习的重要性.
三.让学生懂得动手实践,自主探索与合作交流是学习数学的重要方式.用数学知识本身的魅力去吸引影响学生,尊重学生的想法,鼓励学生独立思考,激发学生内在紧张的智力活动,使他们体验到尝试动手和成功解决问题的乐趣.

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