2024年经济数学基础积分部分教学要求与综合练习.doc

经济数学基础积分学部分教学要求与综合练习
大家好！目前是经济数学基础本学期第二次学习辅导活动，欢迎大家参加！
第一次辅导活动给出了微分学部分的学习要求和综合练习，应当说它们对您的学习会有很大的协助的,希望大家重视。本次活动的重要内容安排了三个，一是对本课程的期末考试作某些阐明，二是对第二部分积分学提出某些学习要求，最后给出积分学部分的综合练习，希望大家按照这些要求和练习进行复习。

考核阐明
考查对象：本课程的考查对象是中央广播电视大学财经类高等专科开放教育金融、工商管理、会计学等专业的学生．
考核依据：以本课程的教学大纲和指定的参考教材为依据制定的．本课程指定的参考教材是由李林曙、黎诣远主编的、高等教育出版社出版的“新世纪网络课程建设工程——经济数学基础网络课程”的配套文字教材：
经济数学基础网络课程学习指南
经济数学基础——微积分
经济数学基础——线性代数
　　考核方式：本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式．考核成绩由形成性考核作业成绩和期末考试成绩两部分组成，其中形成性考核作业成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%．课程考核成绩满分100分，60分以上为合格，能够取得课程学分．
考核要求：本课程的考核要求分为三个不一样层次：有关定义、定理、性质和特性等概念的内容由低到高分为“懂得、了解、了解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、纯熟掌握”三个层次．
试题类型及结构：试题类型分为单项选择题、填空题和解答题．三种题型分数的百分比为：单项选择题15%，填空题15％，解答题70％．
考核形式：期末考试采取闭卷笔试形式，卷面满分为100分．
考试时间：90分钟．

积分学部分学习要求
第1章 不定积分
1．了解原函数与不定积分概念。
这里要处理下面几个问题：
（1）什么是原函数？
若函数的导数等于，即，则称函数是的原函数。
（2）原函数不是唯一的。
因为常数的导数是0，故都是的原函数（其中是任意常数）。
（3）什么是不定积分？
原函数的全体（其中是任意常数）称为的不定积分，记为=。
（4）懂得不定积分与导数（微分）之间的关系。
不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它自身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即
=,=,
，
2．纯熟掌握不定积分的计算措施。
常用的积分措施有
（1）利用积分基本公式直接进行积分；
（2）第一换元积分法（凑微分法）；
（3）分部积分法，重要掌握被积函数是如下类型的不定积分：
　　①幂函数与指数函数相乘；
　　②幂函数与对数函数相乘；
③幂函数与正（余）弦函数相乘；

第2章 定积分
1．了解定积分的概念，懂得奇偶函数在对称区间上的积提成果．
要区分不定积分与定积分之间的关系。定积分的成果是一个数，而不定积分的成果是一个体现式。
奇偶函数在对称区间上的积分有如下成果：
　　 若是奇函数，则有
若是偶函数，则有
2．纯熟掌握定积分的计算措施。
常用的积分措施有
（1）利用积分基本公式直接进行积分；
（2）第一换元积分法（凑微分法）；
注意：定积分换元，一定要换上、下限，然后直接计算其值（不要还原成原变量的函数）．
（3）分部积分法，重要掌握被积函数是如下类型的定积分：
　　①幂函数与指数函数相乘；
　　②幂函数与对数函数相乘；
③幂函数与正（余）弦函数相乘；
3．懂得无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分。

第3章 积分应用
1．掌握用定积分求简单平面曲线围成图形的面积。
求平图形面积的一般步骤：
(1) 画出所围平面图形的草图；
(2) 求出各有关曲线的交点及边界点，以确定积分上下限；
(3) 利用定积分的几何意义（即上述各式），确定代表所求的定积分。
2．纯熟掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的措施。
3．了解微分方程的几个概念：微分方程、阶、解（通解、特解）线性方程等；掌握简单的可分离变量的微分方程的解法，会求一阶线性微分方程的解。

综合练习
一、单项选择题
1．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ）．
A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4 C．y = 2x + 2 D．y = 4x
正确答案：A
2．下列等式不成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
正确答案：A
3．若，则=（ ）.
　　A. 　 B. 　C. 　　 D.
正确答案：D
4．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）．
A． B．
C． D．
正确答案：C
5. 若，则f (x) =（ ）．
A． B．- C． D．-
正确答案：C
6. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( )．
A． B．
C． D．
正确答案：B
7．下列定积分中积分值为0的是（ ）．
A． B．
C． D．
正确答案：A
8．下列定积分计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
正确答案：D
9．下列无穷积分中收敛的是（ ）．
A． B． C． D．
正确答案：C
10．无穷限积分 =（ ）．
A．0 B． C． D.
正确答案：C

二、填空题
1． ．
应当填写：
2．函数的原函数是 ．
应当填写：-cos2x + c (c 是任意常数)
3．若存在且连续，则 ．
应当填写：
　　4．若，则　　　　　　.
应当填写：
　　5．若，则= .
应当填写：
　　6．　　　　　　.
应当填写：0
7．积分 ．
应当填写：0
8．无穷积分是 ．（判别其敛散性）
应当填写：收敛的
9．设边际收入函数为(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为
．
应当填写：2 +

三、计算题
1．
解 ==
2．计算
解
3．计算
解
4．计算
解
5．计算
解 =
=
6．计算
解 =
7．
解 ===
8．
解：=- ==
9．
解法一 =
=＝=1
解法二 令，则
=

四、应用题
1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达成最低.
解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为
== 100（万元）
又 = =
令 ， 解得.
x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达成最小的值. 因此产量为6百台时可使平均成本达成最小.
2．已知某产品的边际成本(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？
解 因为边际利润
=12-0.02x –2 = 10-0.02x
令= 0，得x = 500
x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 因此，当产量为500件时，利润最大.
当产量由500件增加至550件时，利润变化量为
=500 - 525 = - 25 （元）
即利润将减少25元.
3．生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？
解 (x) =(x) -(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x
令(x)=0, 得 x = 10（百台）
又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.
又
即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.
4．已知某产品的边际成本为(万元/百台)，为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.
解：因为总成本函数为
=
当= 0时，C(0) = 18，得 c =18
即 C()=
又平均成本函数为

令 ， 解得= 3 (百台)
该题确实存在使平均成本最低的产量. 因此当q = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为
(万元/百台)
5．设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求：
(1) 利润最大时的产量；
(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？
解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 = 14 – 2x
令，得x = 7
由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.
(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润变化量为
=112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）
即利润将减少1万元.

今日的活动到此结束，谢谢大家的参加。再会！