云南省2011届高三数学一轮复习专题题库：立体几何（21）.doc

261. 已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点.
求证：①对角线AC、BD是异面直线，
②EF和HG必交于一点，且交点在AC上.
解析：①提示：用反证法，或者用判定定理.
②提示：先证EH∥FG，EH＜FG，设FE∩GH＝0
又 0∈GH.GH平面ADC.∴O∈平面ADC.同理O∈平面ABC.
∴O在平面ADC和平面ABC的交线AC上.
262.如果直线a垂直于直线b，那么直线a与平行于直线b的任意一条直线b′互相垂直
解析：在a上任取一点A，过A作b1∥b，则a与b1垂直.[来源:学+科+网]
∵b∥b′，b∥b1 ∴b1∥b′
∴直线a与b1和a与b′所成的角相等.
∴a⊥b′
263. 在一块长方形木块的面上有一点P，木匠师傅要用锯子从P和CD将木块分成两块，问怎样画线.
解析：过P作C1D1的平行线EF，连DE、CF.

264.异面直线l1、l2，它们之间的距离为1，所成角是，它们的公垂线是AB，A∈l1,B∈l2.E∈l1,F∈l2,AE＝BF＝1，求EF的长.

解析：如图，用异面直线l1、l2作为长方体的上、下底面的对角线，公垂线AB为高.[来源:学科网ZXXK]
①EF的长即是正方形PEE′F的对角线长，为.
②侧面的对角线，用勾股定理得＝2，即为所求.
265.试证：两两相交且不全过同一点的四条直线共面.
解析：(1)设a、b、c、d四条直线两两相交，且不过同一点，并且无三线共点.
记 a∩b＝A,a∩c＝C,c∩b＝B,[来源:学科网]
∵ a∩b＝A,∴ a、b确定平面α.
∴ B∈b,C∈a. ∴ B、C∈α.
∴ BCα，即cα，同理dα
从而 a、b、c、d共面
(2)若有三线共点，不妨设b、c、d相交于A，
a∩b＝B，a∩c＝C,a∩d＝D.
∴ a与A可确定平面α.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
∵ B∈a. ∴B∈α，于是bα.
同理，cα，dα.[来源:学科网ZXXK]
从而a、b、c、d共面.
266. 正方体的两条体对角线所夹角的正弦值为______________。

解析：易知故两条体对角线相交，设交点为O（如图），则即为所成的角。[来源:Z|xx|k.Com][来源:学科网]
　　设正方体棱长为1，则
　　，所以，而，故
　　，即，

267.长方体中，则所成角的大小为______________。

解析：如图所示，将平移到，则在中

268. 根据叙述作图，指出二面角a -l-b 的平面角，并证明．
　　（1）已知a ∩b =l，A∈l（图9-39）．在a 内作PA⊥l于A，在b 内作QA⊥l于A．

图9-39
　　（2）已知a ∩b =l，A∈a ，（图9-40）．作AP⊥b 于P，在a 内作AQ⊥l于Q，连结PQ．[来源:学_科_网Z_X_X_K]

图9-40
　　（3）已知a ∩b =l，， （图9-41）．作AP⊥a 于P，AQ⊥b 于Q，l∩平面PAQ=H，连结PH、QH．

解析：（1）PAa ，QAb ，PA⊥l，QA⊥l，∴　∠PAQ为二面角的平面角．
　　　（2）∵　AP⊥b ，∴　PQ为AQ在平面b 内的射影，∵　AQ⊥l，根据三垂线定理，有PQ⊥l，∴　∠AQP为二面角的平面角（如图答9-35）．[来源:学*科*网]
　　　（3）∵　AP⊥a ，∴　AP⊥l，∵　AQ⊥b ，∴　AQ⊥l，∴　l⊥平面PAQ，∵　PH·QH平面PAQ，∴　l⊥PH，l⊥QH，∴　∠PHQ为二面角的平面角（如图答9-36）．
269. 如图9-42，立体图形A-BCD中，AC=AD，BC=BD．求作二面角A-CD-B的平面角，并说明理由．

解析：取CD中点E，连结AE、BE，∵　AC=AD，∴　AE⊥CD．∵　BC=BD，∴　BE⊥CD，∴　∠AEB为二面角A-CD-B的平面角．[来源:Zxxk.Com]
270. 若二面角a -l-b 的一个半平面a 上有一个点A，点A到棱l的距离是它到另一个平面b 的距离的2倍，则这个二面角的大小为（　）．
　　A．90°　　　　　 B．60°　　　　　C．45°　　　　　D．30°
解析：D．作AH⊥b 交b 于H，作HB⊥l于B，连结AB，由三垂线定理，HB⊥l，∴　∠ABH为二面角a -l-b 的平面角，由已知在Rt△ABH中，AB=2AH，∴　∠ABH=30°．