浙江省慈溪市横河初级中学九年级数学上册 3.2圆的轴对称性教案（3） 浙教版.doc

3.2 圆的轴对称性
教学目标
知识目标
1．理解和掌握垂径定理的两个逆定理．
2．会运用这两个逆定理解决有关弦、弧、弦心距及半径之间关系的证明和计算．
能力目标：通过画图探索垂径定理的逆定理，培养学生探究能力和应用能力．
情感目标：经历垂径定理逆定理的探索过程，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质．
教学重点难点
重点：垂径定理的逆定理的探索及其应用．
难点：利用垂径定理的逆定理解决有关实际问题．
课堂教与学互动设计
【创设情境，引入新课】
1．垂径定理是指什么？你能用数学语言加以表达吗？
2．若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分AB，你能得到什么结论？
3．若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分弧AB，你又能得到什么结论？
【合作交流，探究新知】
一、自主探索
1．垂直于弦的直径平分这条弦的逆命题是什么？它是真命题吗？为什么？
2．平分弦的直径一定垂直于弧所对的弦吗？画图试一试．
二、叙一叙
定理1：_______弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分_______．
定理2：平分弦的直径________平分弦所对的________．
三、证一证
已知：如图3-4-2，⊙O的直径交弦AB（不是直径）于点P，AP=BP．
求证：CD⊥AB，这个是什么？
．
图3-4-2
四、讲一讲
1．定理1中为什么不能遗忘“不是直径”这个附加条件，你能举反例说明吗？
2．概括成图式：
直径平分弦（不是直径）
直径平分弧
3．表述：
垂径定理及其逆定理可以概括为：直径垂直于弦；直径平分弦；直径平分弦所对的弧，这三个元素中由一推二．
【例题解析，当堂练习】
例1 如图3-4-3，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，M，N分别是和的中点，求∠MON的度数．

图3-4-3
练一练 （课内练习）已知：如图3-4-4，⊙O的直径PQ分别交弦AB，CD于点M，N，AM=BM，AB∥CD．求证：DN=CN．

图3-4-4
例2 （课本例3）节前语所示的赵州桥的跨径（弧所对的弦的长）为37.02m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥的桥拱半径（精确到0.01m）．

练一练
如图3-4-5，在直径为130mm的圆铁片上切下一块高32mm的弓形（圆弧和它所对的弦围成的图形）铁片，求弓形的弦AB的长．

图3-4-5

课外同步训练
【轻松过关】
1．下列说法中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．弧上一点到弦的距离叫做拱高 D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．弦的垂线平分弦所对的弧
B．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心
C．过弦的中点的直线平分弦所对的弧
D．平分弦的直径垂直于这条弦
3．如图3-4-6，O是两个同心圆的圆心，大圆的半径OA，OB分别交小圆于C，D，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．AB=CD C．AB∥CD D．∠OCD≠∠B

图3-4-6 图3-4-7 图3-4-8
4．如图3-4-7，在⊙O中，弧CD与直径AB相交，且AB平分，则下列结论错误的是（ ）
A．AB⊥CD B．∠COE=∠DOE C．OE=BE D．
5．如图3-4-8，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是半圆上一点，点E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为_____cm．
6．已知⊙O的弦AB长为4cm，弦AB的弦心距为2cm，则⊙O的直径为______cm．
7．如图3-4-9，AD是⊙O的直径，AB=AC，∠BAC=120°，根据以上条件写出三个正确的结论（OA=OB=OC=OD除外）：
①__________________;②__________________；③__________________．
8．如图3-4-10，大圆的半径为5，小圆的半径为4，弦AB=8，则AC=_______．

图3-4-9 图3-4-10
9．如图3-4-11，已知AB为弓形AB的弦，半径OD所在直线垂直AB于点C．若AB=2，OC=1，求弓高CD的长．

图3-4-11

10．如图3-4-12，已知⊙O的半径长6cm，弦AB与半径OC互相平分，交点为M，求AB的长．

图3-4-12

11．如图3-4-13，BC是⊙O中的弦，点A是的中点，半径OA交BC于点D，且BC=8，AD=2，求⊙O的半径．

图3-4-13

【适度拓展】
12．储油罐的截面如图3-4-14所示，装入一些油，若油面宽AB=600mm，油罐直径为650mm，求油的最大深度．

图3-4-14

13．如图3-4-15，AB是⊙O的直径，CD为弦，分别过A，B作弦CD的垂线，垂足为M，N，求证：MC=DN．

图3-4-15

【探索思考】
14．如图3-4-16，点O为的圆心，∠AOB=120°，弓形高ND=2cm，矩形EFGH的顶点E，F在弦AB上，点H，G在上，且EF=4HE，求EF的长．

图3-4-16

【趣味阅读】
关于圆周率的历史
圆的周长与直径之比，称为圆周率，记号是．我国古代很早就得出了比较精确的圆周率．魏、晋时期的数学家刘徽普算出圆周率的近似分数，如果化成小数的话，相当于3.1416．而公元前3世纪，古希腊的阿基米德知道的值和公元2世纪时的托勒密所取的值3.141667，皆比刘徽所得的粗疏．我国古代书籍《隋书·律历志》记载，南北朝的科学家祖冲之重新推算圆周率，知道的值在3.1415926与3.14159267之间，他还算出了两个的渐近分数、约率与密率，比刘徽的结果更加精确．德国人奥托在1573年才重新得出祖冲之已经算出的密率，落后了11个世纪．
英国数学家向克斯用毕业的精力，把圆周率算到小数点以后707位，曾被传为佳话，但是他在第528位上产生了一个错误，因此后面的100多位数字是不正确的．
由于电子计算机的问世，圆周率计算的精确记录一个接一个地被打破．就目前知道的，到了20世纪末，运用计算机获是圆周率的值有6442450938位有效数字．随着科学技术的发展与进步，圆周率的有效数字会越算越多．但你可以发现，它的小数部分永远不会结束，也永远不会循环，它的确是一个无限不循环的小数，也就是一个无理数．