初三数学有关梯形的计算学会转化是关键专题辅导.doc

有关梯形的计算，学会转化是关键
王可民

在解答有关梯形的计算问题时，常常需要添加适当的辅助线，将其转化为三角形、平行四边形等问题来解决。一般地，梯形中常用的辅助线有六种，可概括为：
连接梯形对角线，平移一腰到顶点；
梯形两底作高线，延长两腰来相见；
平移一条对角线，一腰中点等积变。
下面举例说明梯形的这些转化方法，请同学们注意体会并加以运用。
转化策略一：连接梯形对角线
目的作用：把梯形问题转化为三角形问题

例1 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=60°，BC=CD，AD=1cm，求梯形ABCD的面积。

解析 连接BD。
在△BCD中，
∵BC=CD, ∠C=60°
∵△BCD为等边三角形。
∴BC=BD，∠CBD=60°。
又AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=90°。
在Rt△ABD中，∠ABD=∠ABC-∠CBD=30°，
∴BD=2AD=2，
。
∴

转化策略二：平移一腰到顶点
目的作用：将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题。

例2 如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=8，AB=4，求腰CD的取值范围。

解析 过点D作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED为平行四边形。
∴DE=AB=4，BE=AD=6。
∴EC=BC-BE=8-6=2。
在△DEC中，由三角形三边的关系可知
DE-EC<DC<DE+EC，即2<DC<6。
转化策略三：梯形两底作高线
目的作用：将梯形问题转化为直角三角形和矩形问题。

例3 如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C=60°，AD=3cm，AB=4cm，求BC的长。

解析 作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，则四边形AEFD为矩形。
∴AE=DF，EF=AD=3cm。
在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠B=30°，
∴
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
∵∠B=∠C，∠AEB=∠DFC=90°，AE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF。
∴BE=CF=3cm。
∴BC=BE+EF+CF=2+3+2=7cm。
转化策略四：延长两腰来相见
目的作用：延长两腰交于一点，得到有公共角的两个三角形。

例4 如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C=60°，BC-AD=4cm，求腰AB的长。

解析 延长BA、CD交于点E
∵AD∥BC，∠B=∠C=60°，
∴∠EAD=∠EDA=60°。
∴△EAD、△EBC都是等边三角形。
∴EA=AD，EB=BC。
∴AB=EB-EA=BC-AD=4cm。
转化策略五：平移一条对角线
目的作用：构造以对角线为一边的平行四边形和三角形。

例5 如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD，高DF=10cm，求梯形ABCD的面积。

解析 过D点作DE∥AC，交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形。
∴AC=DE, AD=CE。
又由等腰梯形的性质可知AC=DB，
∴DB=DE。
又AC⊥BD，DE∥AC，∴BD⊥DE。
即△DBE为等腰直角三角形。
又DF⊥BC，∴BF=EF。
∴
∴
=
转化策略六：一腰中点等积变
目的作用：连接梯形底的一端与一腰中点并延长，与另一底的延长线相交，构造全等三角形。

例6 如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是腰AB的中点，且BC+AD=CD，∠D=100°，求∠BCE的度数。

解析 连接DE并延长交CB的延长线于F。
∵∠A=∠EBF，∠ADE=∠F，AE=BE，
∴△ADE≌△BFE。
∴AD=BF，DE=FE。
又CD=BC+AD=BC+BF=CF，即△CDF是等腰三角形。
由等腰三角形的性质“三线合一”可知
∠BCE=∠DCE=∠BCD。
又AD∥BC，∠ADC+∠BCD=180°。
∴∠BCD=180°-∠ADC=80°。
∴∠BCE=∠BCD=40°。