九年级数学 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象1-北师大版.doc

九年级数学 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象1-北师大版
教学目标
(一)教学知识点
1．能够作出函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它与
y＝ax2的图象的关系．理解a，h，k对二次函数图象的影响．
2．能够正确说出y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(二)能力训练要求
1．通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力．
(三)情感与价值观要求
1．经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
2．让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
教学重点
1．经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的作法和性质的过程．
2．能够作出y＝a(x—h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响．
3．能够正确说出y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
教学难点
能够作出y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象，并能够理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响．
教学方法
探索——比较——总结法．
教具准备
投影片四张
第一张：(记作§2．4．1A)
第二张；(记作§2．4．1B)
第三张：(记作§2．4．1C)
第四张：(记作§2．4．1D)
教学过程
Ⅰ．创设问题情境、引入新课
[师]我们已学习过两种类型的二次函数，即y＝ax2与y＝ax2＋c，知道它们都是轴对称图形，对称轴都是y轴，有最大值或最小值．顶点都是原点．还知道y＝ax2＋c的图象是函数y＝ax2的图象经过上下移动得到的，那么y＝ax2的图象能否左右移动呢？它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢？本节课我们就来研究有关问题．
Ⅱ．新课讲解
一、比较函数y＝3x2与y＝3(x－1)2的图象的性质．
投影片：(§2．4A)
(1)完成下表，并比较3x2和3(x－1)2的值，它们之间有什么关系？
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
3x2

3(x－1)2

(2)在下图中作出二次函数y＝3(x－1)2的图象．你是怎样作的？

(3)函数y＝3(x－1)2的图象与y＝3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？
(4)x取哪些值时，函数y＝3(x－1)2的值随x值的增大而增大？x取哪些值时，函数y＝3(x－1)2的值随x值的增大而减小？
[师]请大家先自己填表，画图象，思考每一个问题，然后互相讨论，总结．
[生](1)第二行从左到右依次填：27，12，3，0，3，12，27，48；第三行从左到右依次填48，27，12，3，0，3，12，27．
(2)用描点法作出y＝3(x－1)2的图象，如上图．
(3)二次函数y＝3(x－1)2的图象与y＝3x2的图象形状相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同，y＝3(x－1)2的图象的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)．
(4)当x＞1时，函数y＝3(x－1)2的值随x值的增大而增大，x＜1时，
y＝3(x－1)2的值随x值的增大而减小．
[师]能否用移动的观点说明函数y＝3x2与y＝3(x－1)2的图象之间的关系呢？
[生]y＝3(x－1)2的图象可以看成是函数y＝3x2的图象整体向右平移得到的．
[师]能像上节课那样比较它们图象的性质吗？
[生]相同点：
a．图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同．
b．都是轴对称图形．
c．都有最小值，最小值都为0．
d．在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随x的增大而增大．
不同点：
a．对称轴不同．y＝3x2的对称轴是y轴．y＝3(x－1)2的对称轴是x＝1．
b．它们的位置不同．
c．它们的顶点坐标不同．y＝3x2的顶点坐标为(0，0)，y＝3(x－1)2的顶点坐标为(1，0)．
联系：
把函数y＝3x2的图象向右移动一个单位，则得到函数y＝3(x－1)2的图像．
二、做一做
投影片：(§2．4．1B)
在同一直角坐标系中作出函数y＝3(x－1)2和y＝3(x－1)2＋2的图象．并比较它们图象的性质．
[生]图象如下

它们的图象的性质比较如下：
相同点：
a．图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同．
b．都是轴对称图形，对称轴都为x＝1．
c．在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随x的增大而增大．
不同点：
a．它们的顶点不同，最值也不同．y＝3(x－1)2的顶点坐标为(1，0)，最小值为0．y＝3(x－1)2＋2的顶点坐标为(1，2)，最小值为2．
b．它们的位置不同．
联系：
把函数y＝3(x－1)2的图象向上平移2个单位，就得到了函数y＝3(x－1)2＋2的图象．
三、总结函数y＝3x2，y＝3(x－1)2，y＝3(x－1)2＋2的图象之间的关系．
[师]通过上面的讨论，大家能够总结出这三种函数图象之间的关系吗？
[生]可以．
二次函数y＝3x2，y＝3(x－1)2，y＝3(x－1)2＋2的图象都是抛物线，并且形状相同，开口方向相同，只是位置不同，顶点不同，对称轴不同，将函数y＝3x2的图象向右平移1个单位，就得到函数y＝3(x－1)2的图象；再向上平移2个单位，就得到函数y＝3(x－1)2＋2的图象．
[师]大家还记得y＝3x2与y＝3x2－1的图象之间的关系吗？
[生]记得，把函数y＝3x2向下平移1个平位，就得到函数y＝3x2－1的图象．
[师]你能系统总结一下吗？
[生]将函数y＝3x2的图象向下移动1个单位，就得到了函数y＝3x2－1的图象；向上移动1个单位，就得到函数y＝3x2＋1的图象；将y＝3x2的图象向右平移动1个单位，就得到函数y＝3(x－1)2的图象；向左移动1个单位，就得到函数y＝3(x＋1)2的图象；由函数y＝3x2向右平移1个单位、再向上平移2个单位，就得到函数y＝3(x－1)2＋2的图象．
[师]下面我们就一般形式来进行总结．
投影片：(§2．4．1C)
一般地，平移二次函数y＝ax2的图象便可得到二次函数为y＝ax2＋c，
y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象．
(1)将y＝ax2的图象上下移动便可得到函数y＝ax2＋c的图象，当c＞0时，向上移动，当c＜0时，向下移动．
(2)将函数y＝ax2的图象左右移动便可得到函数y＝a(x－h)2的图象，当h＞0时，向右移动，当h＜0时，向左移动．
(3)将函数y＝ax2的图象既上下移，又左右移，便可得到函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
因此，这些函数的图象都是一条抛物线，它们的开口方向，对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关．
下面大家经过讨论之后，填写下表：
y＝a(x－h)2＋k
开口方向
对称轴
顶点坐标
a＞

a＜0

四、议一议
投影片：(§2．4．1D)
(1)二次函数y＝3(x＋1)2的图象与二次函数y＝3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？
(2)二次函数y＝－3(x－2)2＋4的图象与二次函数y＝－3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？
(3)对于二次函数y＝3(x＋1)2，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？二次函数y＝3(x＋1)2＋4呢？
[师]在不画图的情况下，你能回答上面的问题吗？
[生](1)二次函数y＝3(x＋1)2的图象与y＝3x2的图象形状相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同，y＝3(x＋1)2的图象的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0)．只要将y＝3x2的图象向左平移1个单位，就可以得到
y＝3(x＋1)2的图象．
(2)二次函数y＝－3(x－2)2＋4的图象与y＝－3x2的图象形状相同，只是位置不同，将函数y＝－3x2的图象向右平移2个单位，就得到y＝－3(x－2)2的图象，再向上平移4个单位，就得到y＝－3(x－2)2＋4的图象．y＝－3(x－2)2＋4的图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，4)．
(3)对于二次函数y＝3(x＋1)2和y＝3(x＋1)2＋4，它们的对称轴都是x＝－1，当x＜－1时，y的值随x值的增大而减小；当x＞－1时，y的值随x值的增大而增大．
Ⅲ．课堂练习
随堂练习
Ⅳ．课时小结
本节课进一步探究了函数y＝3x2与y＝3(x－1)2，y＝3(x－1)2＋2的图象有什么关系，对称轴和顶点坐标分别是什么这些问题．并作了归纳总结，还能利用这个结果对其他的函数图象进行讨论．
Ⅴ．课后作业
习题2．4
Ⅳ．活动与探究
二次函数y＝(x＋2)2－1与y＝(x－1)2＋2的图象是由函数y＝x2的图象怎样移动得到的？它们之间是通过怎样移动得到的？
解：y＝(x＋2)2－1的图象是由y＝x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的，y＝(x－1)2＋2的图象是由y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的．
y＝(x＋2)2－1的图象向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到
y＝(x－1)2＋2的图象．
y＝(x－1)2＋2的图象向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到
y＝(x＋2)2－1的图象．
板书设计
§4．2．1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象(一)
一、1．比较函数y＝3x2与y＝3(x－1)2的图象和性质(投影片§2．4．1A)
2．做一做(投影片§2．4．1B)
3．总结函数y＝3x2，y＝3(x－1)2，y＝3(x－1)2＋2的图象之间的关系(投影片§2．4．1C)
4．议一议(投影片§2．4．1D)
二、课堂练习
1．随堂练习
2．补充练习
三、课时小结
四、课后作业