八年级数学下学期期末复习《勾股定理》课案(教师用) 新人教版.doc

课案（教师用）
《勾股定理》
（复习课）
【理论支持】
新的课程标准明确要求，数学教育教学要面向全体同学，课堂教学应突出体现以学生为主体，传授数学知识要遵循基础性、普及性和发展性。
新的课程标准的基本理念是：数学课程要面向全体，数学的发展要在数学课堂中得到反映，数学课程要关注学生的生活经验和知识体验，数学课程内容要包括过程。学生要在合作交流、自主探究的氛围中学习数学；教师是面向数学学习的组织者、引领者和合作者；评价要关注学习过程，应有助于学生的认识自我、建立自信。
建构主义认为，儿童是在与周围环境相互作用的过程中，逐步建构起于外部的知识，从而使自身的认知结构得到发展。皮亚杰认知发展论认为，在个体从出生到成熟的发展过程中，认知结构在与环境的相互作用下不断重构，从而表现出不同质的不同阶段。教育教学应适应儿童的年龄特点，学习的儿童主动的、自发的学习，应注重儿童的社会交往，通过动作进行学习，必须注意儿童的个体差异。布鲁纳（发现教学法）认为，数学教学应激发儿童的内在动机；应鼓励儿童积极思考和探索；注意新旧知识的相容性；培养学生运用假设、对照的技能。
“勾股定理”复习的内容是勾股定理及逆定理，应注重培养学生的观察能力、几何图形的变换能力、计算能力和逻辑推理能力。以问题情境——数学建模——求解模型为主要线索呈现，注重从实际问题情境中寻求数量关系，从动手实验中体现推理论证的必要性。以小组合作的形式开展课内外活动，提高全体学生的分析、推理及开展数学活动的能力。
教学对象的分析：
1.八年级学生有一定的学习基础，教学过程中紧扣时机，以模块知识结构激发学习兴趣，引发求知欲。
2.八年级学生概括能力比较弱，推理能力有待发展提高，教学过程中让学生充分探索、分析，发挥直观图形的感染力。
3． 八年级学生对探究问题较感兴趣，应为他们努力创造自主学习、合作探究的机会，让他们主动参与、认真思考、努力探索，培养他们的自主学习习惯和创造性思维能力。
【教学目标】、
知识技能
1.掌握勾股定理，能利用勾股定理进行简单的几何计算.
2. 掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形．
数学思考
通过勾股定理及其逆定理的复习巩固，进一步提高学生解决几何问题的能力，以及概括能力等。
解决问题
1.通过知识线索（勾股定理的探究过程→勾股定理的内容→勾股定理的简单实际应用），采用观察、分析来感知图形，解决问题．
2. 以生活情景为素材，探究、交流为手法，解决“建模”问题．
情感态度
1.通过独立分析、解决问题，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立信心.
2.通过小组活动培养学生合作交流的意识和探索精神.
【教学重点难点】
1.教学重点:
勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用 ．
2.教学难点:
从现实情景中构建模型，应用勾股定理、勾股定理的逆定理的解决实际问题．
【课时安排】
一课时
【教学设计】
课前延伸
一、基础扫描
根据所复习的定理，独立思考并完成一组练习．
1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是 （　　）
A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25
C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=5
3．若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为 （　　）
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7
4．直角三角形一直角边的长为11，另两边为自然数，则直角三角形的周长为（　　）
A、121 B、120 C、132 D、不能确定
5．如果直角三角形两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（　　）
A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169
6．如果直角三角形的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（　　）
A、2n B、n+1 C、n2－1 D、n2+1
7．已知直角三角形ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则直角三角形的面积是 （　　）
A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2
8．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为 （　　）
A、56 B、48 C、40 D、32
9．三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是 ( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（　　）
北
南
A
东
第12题图
A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元
A
B
E
F
D
C
第11题图

150°
20m
30m
第10题图

11．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为 （　　）
A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2
12．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 （　　）
A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里
要求: 1.依据勾股定理、勾股定理的逆定理知识解决基础中问题；弄清运用勾股定理还是勾股定理的逆定理；注意答案不唯一；注意与所学知识的结合（代数式的公式变形）和直角三角形的建模．时间2０分钟．
2. 面向全体学生，营造学习纷围．互助合作完成学习，小组交流练习情况．
方法点拨：这组选择题，是一些运用勾股定理及勾股定理的逆定理求线段长及判断三角形形状的问题，需用到代数式的公式变形和实际问题进行直角三角形的建模，轴对称概念，渗透转化数学思想、整体思想．
参考答案：
1．D　2．A　3．C　4．C　5．D　6．D 7．A　8．B　9．C　10．C　11．A　12．D

课内探究
一、导入复习：（根据基础扫描反馈情况，导入问题研究）
知识点
1．给出知识结构图,以问题的形式回顾本章内容。

２.引导学生回忆勾股定理及勾股定理的逆定理内容
点评： 通过给出知识结构图和师生共同回顾勾股定理及勾股定理的逆定理内容，把它们归结为一个整体，使本章所学的内容形成一个完整体系，能使学生对本章所学内容系统化．通过基础扫描的练习，让学生熟练掌握基础知识和基本技能，进一步理解勾股定理及勾股定理的逆定理内容，初步会运用定理解决相关问题，提高认知能力．

二、探究问题：
例1（1）．如图，有一个圆柱体，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（的值取为3）

2. 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.
3. 如图所示，在中，，两条直角边，在三角形内有一点P到三边的距离都相等，求这个距离．

要求：对于每道题分析它们各属于什么类型的问题，各运用了什么方法？有什么规律？
（学生口述解题过程，老师根据具体情况启发引导）
点拨提问：学生尝试通过分析每道题的思路和解题过程，感受如何运用勾股定理解决实际问题。利用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，所以首先要在题目中寻找直角或垂直条件.
学生开展分组活动，组内交流讨论。教师设置讨论问题：
1.蚂蚁怎样爬行，路程才能最短。
2.第三边是直角边还是斜边？
3.要求的距离运用什么方法求解？
点评：让学生通过实际问题总结经验：对于没有图形或图形不完全的实际问题，对学生的要求会更高一步，要在深入分析题意的基础上画出正确图形，理清边之间的关系，最后利用勾股定理解题.
方法点拨：能够正确地从实际问题中抽象出勾股定理的数学模型是解题的关键所在. 题中没有直角三角形的时候要构造直角三角形来解题，画出满足题意的图形，找对边之间的数量关系，利用勾股定理解决实际的问题.
参考答案：
1.解：将此圆柱沿直线AC方向剪开，铺平，得右图，容易看出，路径AB为最短路程.
在Rt△ABC中，AC=12，，
∴ AB2=AC2+BC2=122+92=225
∴ AB=15
答：蚂蚁爬行的最短路程是15厘米．
2.解：（1）若4为直角边，则第三边的长为：；
（2）若4为斜边，则第三边的长为：．
3.解：由勾股定理，得
设点P到各边的距离为，连结PA、PB、PC，故
即
得 ，∴
例２（1）若△ABC三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+338=10+24+26,判断△ABC的形状.
（2）在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
要求：如何在实际问题中抽象出勾股定理的逆定理模型？
点评：引导学生分析题目特征，在实际问题中运用转化思想，结合数学建模思想将实际问题转化成数学模型. 画出满足题意的图形，找对边之间的数量关系，利用勾股定理的逆定理解决实际的问题.
参考答案：
（1）解：∵a2+b2+c2+338=10+24+26
∴a2-10a+25+b2-24b+144＋c2－26c＋169=0
即 （a-5）2＋(b-12)2＋(c-13)2=0
∴a=5,b=12,c=13
∵a2＋b2=52＋122=169=132=c2
∴△ABC是直角三角形.
（2）甲船航行的距离为BM=（海里），
乙船航行的距离为BP=（海里）.
∵，∴，
∴△MBP为直角三角形，∴，∴乙船是沿着南偏东方向航行的.
三、课堂操练：
1. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A
B
C
D

7cm

A
B
C
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

第2题图
第1题图
第4题图

2. 如图所示，在△ABC中，三边a,b,c的大小关系是（ ）
A.a＜b＜c B. c＜a＜b C. c＜b＜a D. b＜a＜c
3．下列几组数据：①8，15，17；②7，12，15；③12，20，15；④7，24，25；⑤11，60，61.其中能作为直角三角形三边长的有（ ）
A. 2组 B.3组 C.4组 D.5组
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2.
5．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为 .
6. 阅读理解题：
阅读下列解题过程：
已知：a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2=a4－b4①，∴c2(a2－b2)=(a2＋b2)(a2－b2)②，∴c2=a2＋b2③，
∴△ABC是直角三角形.④
问题：（1）上述解答过程，从哪一步开始出现错误？请写出该点代号 ．（2）错误原因是 ． （3）本题正确的结论是 ．
７．如图，已知，AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13。求四边形ABCD的面积。

教师深入小组，倾听学生交流，鼓励学生用自己的观点将发现的规律展示出来
点评：通过课堂操练，渗透数形结合的思想，提高知识的综合运用能力，体验探究过程的感受．
参考答案：
1.C 2.D 3.B
4.49
5.12
6. 解：（1）由于②中的等式两边同时除以（）时，有两种可能取值，即
，当时才能得到③中的式子，所以开始出现错误的代号是③ ．
（2）错误原因是应当考虑两种可能情况．
（3）本题正确的结论是：当时△ABC是等腰三角形；当时
△ABC是直角三角形.
7. 解：连结AC，在中，由勾股定理得
在中，
.
由勾股定理的逆定理知

四，课堂小结：
今天我们复习了哪些知识，你有什么收获？（学生回答）
课后提升
１．在下列说法中错误的是（ ）
A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形.
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形.
C．在△ABC中，若a＝c，b＝c，则△ABC为直角三角形.
D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形.
２. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为（ ）
A．2，4，8 B.4,8,10 C.6,8,10 D.8,10,12
３．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .

４．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 .
５．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 .
６．已知：如图，P是正三角形ABC内一点，且PA=3,PB=4,PC=5。试求∠APB的度数。

要求：1.熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理，并能正确的灵活的进行应用．
2．第1—５题为必做题，第６题为选做题．
3..３0分钟内完成
点评：课后盘点是巩固复习知识的手段，通过课后盘点，让学生加深探究信心，进行必要的知识应用训练，使课堂得到延伸．
参考答案：
1.D
2.D
3.8,15,17；7,24,25；11,60,61
4.或3
5.120
6.解：如图，以A为顶点，AP为一边作∠PAQ=60°,在射线AQ上截取AQ=AP,连结PQ、CQ.
∴△APQ是等边三角形 ∴PQ=AP=3, ∠AQP=60°
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC, ∠BAC=60°
∴∠PAQ=∠BAC
∴∠BAP+∠PAC=∠CAQ+∠PAC ∴∠BAP=∠CAQ
又∵AQ=AP
∴△ABP≌△ACQ ∴BP=CQ=4
∵, ∴△PCQ是直角三角形，　　　
∠PQC=90°
∴∠APB=90°+60°=150°