九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.3 一元二次方程根的判别式教案 （新版）湘教版-（新版）湘教版初中九年级上册数学教案.doc

2.3 一元二次方程根的判别式
教学目标
1．使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．
2．使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况．
3. 通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力．培养学生思考问题的灵活性和严密性．
教学重点
一元二次方程根的判别式的内容及应用．
教学难点
1.一元二次方程根的判别式的推导．
2.利用根的判别式进行有关证明
教学过程
复习提问
1．一元二次方程的一般形式及其根的判别式是什么？
2．用公式法求出下列方程的解：
(1)3x2＋x－10＝0；(2)x2－8x＋16＝0；(3)2x2－6x＋5＝0．
引入新课
通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根．
接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题．(板书本课标题)
新课
先讨论上述三个小题中b2－4ac的情况与其根的联系．再做如下推导：
对任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可将其变形为

∵a≠0，∴4a2＞0．
由此可知b2－4ac的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况．
(1)当b2－4ac＞0时，方程右边是一个正数．

(2)当b2－4ac＝0时，方程右边是0．

通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况可由b2－4ac来判定．故称b2－4ac是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用“△”来表示．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
当△＞0时，有两个不相等的实数根；
当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．
反过来也成立．
例1.不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)2x2＋3x－4＝0； (2)16y2＋9＝24y； (3)5(x2＋1)－7x＝0．
分析：要想确定上述方程的根的情况，只需算出“△”，确定它的符号情况即可．
例2．当k取什么值时，关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等实数根；(3)方程没有实数根．
例3. 求证关于x的方程(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0没有实数根
归纳总结
应用判别式解题应注意以下几点：
1．应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式，为应用判别式创造条件．
2．一元二次方程根的判别式的逆命题也是成立的．
布置作业：
达标测试：
1.证明关于x的方程(x-1)(x-2)=m2有两个不相等的实数根．
2.a，b，c是△ABC的三边的长，求证方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0没有实数根．
3.若m≠n，求证关于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2=0无实数根．
4.已知，关于x的方程（a-2）x2-2（a-1）x+（a+1）＝0，当a为何非负整数时；
①.方程只有一个实数根.②方程有两个相等的实数根.③方程没有实数根.