概率论与数理统计知识总结之第一章.doc

第一章 概率论的基本概念
确定性现象：在一定条件下必然发生的现象
随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象

随机试验：
具有下述三个特点的试验：
1. 可以在相同的条件下重复地进行
2. 每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果
3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现

样本空间：
将随机试验E的所有可能出现的结果组成的集合称为E的样本空间，记为S
样本点：
样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点
样本空间的元素是由试验的目的所确定的。

随机事件：
一般，我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件
在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。
基本事件：
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。
必然事件：
样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。
不可能事件：
空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可能事件。

事件间的关系与运算：
设试验E的样本空间为S，而A,B,（k=1,2,…)是S的子集。
1. 若，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必然导致事件B发生。
若且,即A=B，则称事件A与事件B相等。
2. 事件｜或称为事件A与事件B的和事件。当且仅当A,B中至少有一个发生时，事件发生。
类似地，称为事件…的和事件；称为可列个事件…的和事件。
3. 事件=｜且称为事件A与事件B的积事件。当且仅当A,B同时发生时，事件发生。记作AB。
类似地，称为n个事件…的积事件；称为可列个事件…的积事件。
4. 事件｜且称为事件A与事件B的差事件。当且仅当A发生、B不发生时事件发生。
5. 若，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的。这指的是事件A与事件B不能同时发生。基本事件是两两互不相容的。
6. 若且,则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事件B互为对立事件。这指的是对每次试验而言，事件A,B中必有一个发生。A的对立事件.

设为事件，则有
交换律：

结合律：

分配律：

德·摩根律：

频率与概率
频率：
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数，称为事件A发生的频数，比值/n称为事件A发生的频率，并记成
频率的基本性质：
1.0≦≦1
2. =1
3. 若…是两两互不相容的事件，则
(…）=（)+…+（）

概率：
设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(·)满足下列条件：
1. 非负性
2. 规范性：对于必然事件S，有P(S)=1
3. 可列可加性：P(…）=P（）+P()+…
概率的性质：
1. P()=0
2. (有限可加性）若，，…是两两互不相容的事件，则有
P（…）=P()+P()+…+P()
3. 设A,B是两个事件，若，则有
P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A)
4. 对于任一事件A，P(A)≤1
5. 对于任一事件A，有=1-P(A)
6. 对于任意两事件A,B有P()=P(A)+P(B)-P(AB)
一般地，对于任意n个事件…，可以用归纳法得出
P(…）=-++…+

等可能概型（古典概型）
定义：
具有以下两个特点的试验称为等可能概型：
1. 试验的样本空间只包含有限个元素
2. 试验中每个基本事件发生的可能性相同
事件概率计算公式：
若事件A包含k个基本事件，即A
P(A)===（A包含的基本事件数）/（S中基本事件的总数）

实际推断原理：
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”

条件概率
事件A已发生的条件下事件B发生的概率
设A,B是两个事件，且P(A)>0，称P(B｜A)=P(AB)/P(A)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.

条件概率P(·｜A)的性质：
1. 非负性:P(B｜A)≥0
2. 规范性：对于必然事件S，有P(S｜A)=1
3. 可列可加性：设…是两两互不相容的事件，则有
｜｜
对于任意事件B,C,有
P(B∪C｜A)=P(B｜A)+P(C｜A)-P(BC｜A)

乘法定理：
设P(A)>0，则有P(AB)=P(B｜A)P(A)
一般，设…为n个事件，n≥2,且>0,则有
｜｜｜

划分：
设S为试验E的样本空间，为E的一组事件，若
1.
2. ,
则称为样本空间S的一个划分

全概率公式：
设试验E的样本空间为S，A为E的事件，为S的一个划分，且，则
｜｜｜
贝叶斯公式：
设试验E的样本空间为S，A为E的事件，为S的一个划分，且P(A)>0，,则
｜｜/｜

先验概率：
根据以往数据分析得到的概率
后验概率：
在得到信息之后再重新加以修正的概率

独立性：
设A,B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立，简称A,B独立
定理一：
设A,B是两事件，且P(A)>0，若A,B相互独立，则P(B｜A)=P(B),反之亦然。
定理二：
若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与,与B,与

设A,B,C是三个事件，如果满足等式：

则称事件A,B,C相互独立。

一般，设…是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，……，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件…相互独立。

推论：
1. 若事件…(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立；
2. 若n个事件…(n≥2)相互独立，则将…中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n各事件仍相互独立
（1）排列组合公式
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数
（2）加法和乘法原理
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列
重复排列和非重复排列（有序）
对立事件（至少有一个）
顺序问题
（4）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：AB，或者AB。AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率： ，
（7）概率的公理化定义
设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件，，…有

常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件的概率。
（8）古典概型
1° ，
2° 。
设任一事件，它是由组成的，则有
P(A)= =

（9）几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，
。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（11）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P()=1- P(B)
（12）条件概率
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)
（13）乘法公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
…………。
（14）独立性
①两个事件的独立性
设事件、满足，则称事件、是相互独立的。
若事件、相互独立，且，则有

若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）全概公式
设事件满足
1°两两互不相容，，
2°， （分类讨论的
则有
。
（16）贝叶斯公式
设事件，，…，及满足
1° ，，…，两两互不相容，>0，1，2，…，，
2° ，，（已经知道结果 求原因
则
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
，（，，…，），通常叫先验概率。，（，，…，），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
（17）伯努利概型
我们作了次试验，且满足
7. 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；
8. 次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；
9. 每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。
用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，
，。