定积分北师大版选修PPT课件.ppt
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1、定积分的背景面积与路程问题高二数学 选修2-1 第四章 定积分1以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算?2探究点2 估计曲边梯形的面积 我们曾经用正多边形逼近圆的方法(即“以直代曲”的思想)计算出了圆的面积,能否也用直边形(如矩形)逼近曲边梯形的方法求阴影部分的面积呢?割圆术割圆术3一、定积分问题举例曲边梯形 设函数yf(x)在区间a,b上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.1.曲边梯形的面积 4问题问题1 图中阴影部分由抛物线图中阴影部分由抛物线 ,直线,直线 及及 x 轴轴围成的平面图形,试估计这个曲边梯形的围成的平面图形,试估计这
2、个曲边梯形的面积面积 S。xoy15xoy1(1)将区间0,1平均分成 5 份,如图所示。图图(1)中,所有小矩形面积之和中,所有小矩形面积之和 显然大于所显然大于所求曲边梯形的面积,我们称求曲边梯形的面积,我们称 为为 S 的的过剩估计值过剩估计值,则有则有6xoy1(2)图图(2)中,所有小矩形面积之和中,所有小矩形面积之和 显然小于所显然小于所求曲边梯形的面积,我们称求曲边梯形的面积,我们称 为为 S 的的不足估计值不足估计值,则有则有7xoy1(3)我们可以用我们可以用 或或 近似表示近似表示 S,但是都存在,但是都存在误差,二者之差为误差,二者之差为 ,但是无论是用,但是无论是用 还
3、还是是 来表示曲边梯形的面积,来表示曲边梯形的面积,误差都不会超过误差都不会超过0.2,如图如图(3)所示。所示。8xoy1(4)为减小误差,我们将区间为减小误差,我们将区间0,1 10等分,则等分,则所求面积的过剩估计值为所求面积的过剩估计值为不足估计值为 二者的差值为二者的差值为 ,此时,无,此时,无论用论用 还是还是 来来表示表示 S,误差都不超过,误差都不超过 0.1。区间分的越细,误差越小。当所分隔的区间长度趋于 0,过剩估计值和不足估计值都趋于曲边梯形面积。9观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标:10观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积
4、和与曲边梯形面积的关系学习目标:11观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标:12观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标:13观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标:14学习目标:观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系15观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标:16观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标:17观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标:18观察
5、下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标:19观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标:20观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标:21观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标:22观察下列演示过程,注意当分割加细时,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标:当分割点无限增多时,小矩形的面积和=曲边梯形的面积23概括 前面,我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题,它们的步骤:分割
6、区间过剩估计值不足估计值逼近所求面积所分区间长度 0 估计值所求值 24练一练:求曲线y=x3与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积的估计值,并写出估计误差.(把区间0,1 5等分来估计)25解析 把区间 0,1 5等分,以每一个小区间左右端点的函数值作为小矩形的高,得到不足估计值 和过剩估计值 ,如下:估计误差不会超过估计误差不会超过 -=0.2-=0.226探究点3 估计变速运动的路程 已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t,我们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢?问题2 想象这样一个场景:一辆汽车的司机猛踩刹车,汽车滑行5s后停下,在这一过程中,汽车
7、的速度 v(单位:m/s)是时间 t 的函数:请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s.272/27/202428分析:由已知,汽车在刚开始刹车时的速度是v(0)=25m/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度,求出汽车的滑行距离:s=255=125(m)但显然,这样的误差太大了.为了提高精确度,我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距离.首先,将滑行的时间5s平均分成5份.我们分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4)近似替代汽车在01s、12s、23s、34s、45s内的平均速度,求出滑行距离s1:29由于v是下降的,所以显然s1大于s,我们称它为汽车在5 s
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