定积分北师大版选修PPT课件.ppt

定积分的背景面积与路程问题高二数学 选修2-1 第四章 定积分1以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算？2探究点2 估计曲边梯形的面积 我们曾经用正多边形逼近圆的方法(即“以直代曲”的思想)计算出了圆的面积，能否也用直边形(如矩形)逼近曲边梯形的方法求阴影部分的面积呢？割圆术割圆术3一、定积分问题举例曲边梯形 设函数yf(x)在区间a,b上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.1.曲边梯形的面积 4问题问题1 图中阴影部分由抛物线图中阴影部分由抛物线 ，直线，直线 及及 x 轴轴围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积面积 S。xoy15xoy1(1)将区间0，1平均分成 5 份，如图所示。图图(1)中，所有小矩形面积之和中，所有小矩形面积之和 显然大于所显然大于所求曲边梯形的面积，我们称求曲边梯形的面积，我们称 为为 S 的的过剩估计值过剩估计值，则有则有6xoy1(2)图图(2)中，所有小矩形面积之和中，所有小矩形面积之和 显然小于所显然小于所求曲边梯形的面积，我们称求曲边梯形的面积，我们称 为为 S 的的不足估计值不足估计值，则有则有7xoy1(3)我们可以用我们可以用 或或 近似表示近似表示 S，但是都存在，但是都存在误差，二者之差为误差，二者之差为 ，但是无论是用，但是无论是用 还还是是 来表示曲边梯形的面积，来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过误差都不会超过0.2，如图如图(3)所示。所示。8xoy1(4)为减小误差，我们将区间为减小误差，我们将区间0，1 10等分，则等分，则所求面积的过剩估计值为所求面积的过剩估计值为不足估计值为 二者的差值为二者的差值为 ，此时，无，此时，无论用论用 还是还是 来来表示表示 S，误差都不超过，误差都不超过 0.1。区间分的越细，误差越小。当所分隔的区间长度趋于 0，过剩估计值和不足估计值都趋于曲边梯形面积。9观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标：10观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标：11观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标：12观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标：13观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标：14学习目标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系15观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标：16观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标：17观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标：18观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标：19观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标：20观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标：21观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标：22观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标：当分割点无限增多时，小矩形的面积和=曲边梯形的面积23概括 前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题，它们的步骤：分割区间过剩估计值不足估计值逼近所求面积所分区间长度 0 估计值所求值 24练一练：求曲线y=x3与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积的估计值，并写出估计误差.（把区间0，1 5等分来估计）25解析 把区间 0，1 5等分，以每一个小区间左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足估计值 和过剩估计值 ，如下：估计误差不会超过估计误差不会超过 -=0.2-=0.226探究点3 估计变速运动的路程 已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t,我们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢？问题2 想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度 v（单位：m/s)是时间 t 的函数：请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s.272/27/202428分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是v(0)=25m/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离：s=255=125(m)但显然，这样的误差太大了.为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距离.首先，将滑行的时间5s平均分成5份.我们分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4)近似替代汽车在01s、12s、23s、34s、45s内的平均速度，求出滑行距离s1：29由于v是下降的，所以显然s1大于s,我们称它为汽车在5 s内滑行距离的过剩估计值.用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分别近似替代汽车在01s、12s、23s、34s、45s内的平均速度，求出汽车在5s内滑行距离的不足估计值 ：30不论用过剩估计值不论用过剩估计值s s1 1还是不足估计值还是不足估计值 表示表示s s，误差都不超过：误差都不超过：要对区间多少等分时，才能保证估计误差小于0.1？31为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小，用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其速度误差就越小.比如，将滑行时间5s平均分成10份.用类似的方法得到汽车在5s内滑行距离的过剩估计值s2：32结论 滑行时间等分得越细，误差越小.当滑行时间被等分后的小时间间隔的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值就趋于汽车滑行的路程.汽车在汽车在5s5s内滑行距离的不足估计值内滑行距离的不足估计值 ：无论用无论用s s2 2还是还是 表示汽车的滑行距离表示汽车的滑行距离s s，误差都不超过，误差都不超过33变式练习 汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=-t2+2,（单位：km/h),那么它在0t1(单位：h)这段时间内行驶的路程s是多少？（将行驶的时间1h平均分成10份）34解析 分别用v(0)，v(0.1)，v(0.2)，v(0.9)近似替代汽车在00.1h，0.10.2h，0.80.9h，0.91h的平均速度，求出汽车在1h时行驶的路程的过剩估计值=v(0)+v(0.1)+v(0.2)+v(0.9)0.1=1.715(km).35分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，v(1)近似替代汽车在00.1h，0.10.2h，0.80.9h,0.91h的平均速度，求出汽车在1h时行驶的路程的不足估计值=v(0.1)+v(0.2)+v(0.3)+v(1)0.1=1.615(km)无论用 还是 估计汽车行驶的路程s,估计误差都不会超过1.715-1.615=0.1（km）361.曲边梯形的定义：分割区间过剩估计值不足估计值逼近所求值2.求面积和路程问题的步骤：我们把由直线 x=a，x=b(a b)，y=0和曲线 y=f(x)所围成的图形叫作曲边梯形.回顾本节课你有什么收获？37 第四章 定积分的定义38求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 (2)取近似求和:任取xi xi-1,xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为 xiy=f(x)x yObaxi+1xi (1)分割分割:在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间:39如果如果 趋近于趋近于0（亦即（亦即 ）时）时,上述和式上述和式无限的趋近某个常数无限的趋近某个常数A（即曲边梯形面积）（即曲边梯形面积）.称称A是是函数函数 在区间在区间 上的定积分上的定积分.其中，其中，叫作叫作积分号积分号，叫作积分的叫作积分的下限下限，叫作积分叫作积分的的上限上限，叫作叫作被积函数被积函数，叫作叫作积分变量积分变量，叫作积分区间.记作记作 ,即即A一、基本概念40二、概念说明（1）.定积分定积分 是一个常数，即是一个常数，即 时，时，无限接近的常数无限接近的常数A,而不是而不是 .（2）.用定义求积分的一般方法是：分割 近似代替 求和 取极限（3）.曲边梯形面积：变速运动路程：定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即41三、定积分的几何意义：Ox yab yf(x)x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。42 当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yO-ab yf(x)y-f(x)-S上述曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义：-S43曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值即：44例：说明下列定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值.(1)(2)(3);.;45o1解（1）：中所示长方形的面积，表示的是图由于这个长方形的面积为2.所以246o1解（2）：中所示梯形的面积，表示的是图由于这个梯形的面所以122积为积为 .47o解（3）：半径为1的半圆的面表示的是图中所示由于这个半圆所以o1-11的面积为的面积为 .积，48例2：解：xyf(x)=sinx1-149四、定积分的基本性质 性质1.性质2.性质3.50ab yf(x)Ox y51三:定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有可加性性质4.思考：从定积分的几何意义解释性质ab y=f(x)cOx y52例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-153 利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。利用定积分的几何意义，说明下列各式。成立：1）2）.1）2）.练习：试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0yxy=x2120 xy=f(x)y=g(x)aby542/27/202455