九年级数学上册 第23章 一元二次方程 §23.2 一元二次方程的解法名师教案6 华东师大版.doc

一元二次方程的解法(6)
教学目标：
知识技能目标
1.使学生辨清数字、数位、数三者之间的区别与联系，会用含未知数的代数式表示关系式；
2.会根据所设的不同意义的未知数，列出相应的方程，会从多个角度考虑一题多解有关数字的应用问题；
3.进一步体会列方程解应用题的要点．
过程性目标
1.使学生用列一元二次方程的方法解有关数与数字之关系的应用题；
2.通过列方程解应用题，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．
情感态度目标
1.培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学应用的意识；
2.通过列方程解应用题，获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心．
重点和难点：
同上节课一样，认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，列方程既是重点也是难点．
教学过程：
一、创设情境
1.提问：列方程解应用题的一般步骤是什么？
(1)审题：分析题意，弄清哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的数量关系；
(2)设未知数：未知数有直接与间接两种，恰当的设元有利于列方程和解方程，以直接设未知数居多；
(3)根据已知条件找出等量关系列方程；
(4)解方程；
(5)检验并写出答案．
2.在三位数345中，3、4、5是这个三位数的什么？（3是百位数字， 4是十位数字，5是个位数字）
3.如果a，b，c分别表示百位数字、十位数字、个位数字，这个三位数能不能写成abc形式？为什么？（在数学里“abc”表示连乘积．数字连同它所在的数位结合在一起，才表示一个数． 例如同一个数字 5，当它在百位上时，这个5表示500；当它在十位上时，这个5表示50；当它在个位上时，这个5表示5．所以如果a=3，b=6， c=5那么abc等于3×4×5=60，而不是345．所以这个以 a为百位数字，b为十位数字，c为个位数字的三位数应该写成100a+10b+c）
二、探究归纳
例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数．
分析 考虑本题有三点值得注意：
1.有两个连续奇数：
(1)什么是奇数？不能被2整除的整数叫做奇数，例如±1，±3，±5…，一般地，设n为整数，则2n-1（或2n+1）表示一个奇数；
(2) -1，-3，-5…；1，3，5…是连续奇数，它们之间相差2（或-2）．2n-1与 2n+1是连续奇数，2n+1与 2n+3也是连续奇数（其中n是任意整数）．如果规定了x是奇数，那么x-2与x是连续奇数，x+2与x也是连续奇数．
2.本题里，表示应用题全部含义的相等关系是：
(1)两个连续奇数的乘积=323；
(2)两个连续奇数之差=±2．
3.要求这两个数：
显然，从相等关系入手由1.得：
(1)设较小奇数为x，则另一奇数为x+2；
(2)设较小奇数为x-1，则另一奇数为x+1；
(3)设较小奇数为2x-1，则另一奇数为2x+1．
从而得出本题的以下三种解法．
解法1 用相等关系(1)写出关系式，用相等关系(1)列方程．
设较小的一个奇数为x，那么较大的一个奇数为x+2，根据相等关系：两个连续奇数的乘积=323，列出方程x(x+2)=323．
整理，得x2+2x-323=0，
解方程，得x1=17，x2=-19．
当x=17时，x+2=19．
当x=-19时，x+2=-17．
检验：17×19=323；(-19)×(-17)= 323．都符合题意
答 这两个连续奇数是17，19或-19，-17．
注 检验这一步在解题时可不写出，但不要忽略这一步．
指导学生讨论：
(1)不同的设“元”所产生的解法的优劣；
(2)为什么有些应用题会有两组解？
解法2 设两个连续奇数为x-1，x+1．根据题意，得(x+1)(x-1)＝323，
即x2＝324，所以x1＝18，x2＝-18．
由x＝18，得x-1＝17，x+1＝19；
由x＝-18，得x-1＝-19，x+1＝-17．
经过检验，这两组答数都符合题意．
答 这两个连续奇数是17，19或-19，-17．
解法3 设x是任意整数，则两个连续奇数为2x-1，2x+1．根据相等关系列出方程
(2x-1)(2x+1)= 323．
整理，得
4x2-1=323，x2=81．
解得x1=9，x2=-9；
当x1=9时，2x-1=17，2x+1=19；
当x2=-9时，2x-1=-19，2x+1=-17．
经过检验，这两组答数都符合题意．
答 这两个连续奇数是17，19或-19，-17．
解法4 用相等关系(2)写出关系式，用相等关系(2)列方程．
设较大的一个奇数为x，那么较小的一个奇数为，
根据相等关系列出方程，
解这个方程，得x1=19，x2=-17．

经过检验，这两组答数都符合题意．
答 这两个连续奇数是17，19或-19，-17．
现在从上面的四种解法来分析列方程，解应用题要注意的地方．
第一步：弄清题意．本题需要先弄清什么是奇数，什么是连续奇数，用x表示哪个未知数？解法1与解法2、3是用x直接表示其中的一个奇数，而解法3所设的x表示的是任意整数，然后，间接地用2x-1，2x+1表示连续奇数；
第二步：找相等关系．因为方程是含有未知数的等式，所以必须有相等关系．本题中的“两个连续奇数的乘积等于323”是相等关系，可是还有一个比较隐蔽的相等关系是“两个连续奇数之差等于2或-2”；
第三步：根据相等关系，写出需要的代数式，从而列出方程．
三、实践应用
例2 有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数．
解 设个位数字为x，则
（注意：引导学生填写这些表示量的代数式，这是解应用题的关键，加强训练）
十位数字是______．　　　　　　　　　　(8-x)
原来的两位数是______．　　　　　　　　(10(8-x)+x)
交换位置后的两位数是______．　　　　　(10x+(8-x))
列方程[10x+(8-x)][10(8-x)+x]=1855．
化简，得(9x+8)(80-9x)= 1855，720x+640-81x2-72x=1855，
解方程x2-8x+15=0，得x1=3，x2=5．
检验：(1)若个位数字取3，则十位数字取5，原来的两位数是53，交换位置后的两位数是35，35×53=1855，符合应用题题意．
(2)若个位数字取5，则十位数字取3，原来的两位数是35，交换位置后的两位数是53，53×35=1855，符合应用题题意．
答 原来的两位数是53或35．
说明 本题也可设十位数字为x．
例3 有一个两位数，个位数字比十位数字大1，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，已知新数与原数的积为252，求原数．
分析 此题可从十位数字与个位数字的关系入手，考虑设十位数字为x得一种解法；而设个位数字为x，则得另一种解法．
解法1 设十位数字为x，则其个位数字为x+1．则原数为10x+(x+1)＝11x+1，新数为10(x+1)+x＝11x十10．
根据题意，得(11x+1)(11x+10)＝252，
即121x2+121x-242＝0，
所以x2+x-2＝0，即x1＝1，x2＝-2．
本题中数字不能取负值，故x＝1．
因此，所求两位数为12．
解法2 设个位数字为x，则其十位数字为x-1．
依题意，得(11x-1)(11x-10)＝252，
即x2-x-2＝0，
所以x1＝2，x2＝-1(舍去)．
因此，所求两位数为12．

例4 有两个数，一个是两位数，另一个是一位数，其中两位数是这个一位数的平方，如果把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大252，求这个一位数与两位数．
解 设一位数为x，则两位数为______．　　　(x2)
把一位数x放在两位数x2的左边，就是把数字x放在百位而十位和个位数字不变，它所成的三位数为______．　　　　　　(100x+x2)
把一位数x放在两位数x2的右边，就是把数字x放在个位上，两位数x2顺序放在百位和十位上，它所成的三位数为______．(10x2+x)
列方程100x+x2=10x2+x+252．
化简得9x2-99x+252=0．
解得x1=4，x2=7
检验：(1)取一位数为4，则两位数为16，把一位数放在两位数的左边，所成的三位数是416．
把一位数放在两位数的右边，所成的三位数是164．而416=164+252成立．
(2)取一位数是7，则两位数是49．把一位数放在两位数的左边，所成的三位数是749，把一位数放在两位数的右边，所成的三位数是497．而749=497+252成立．
答 所求的两个数是4，16或7，49．
四、交流反思
1.灵活设元可直接影响方程与解法的难易，故应寻求正确的、合理的设元列方程方法；
2.解一元二次方程可能得出两个解，其适合方程但不一定适合应用题．因此，必须检验其是否符合实际要求．
五、检测反馈
1.已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数.
2.已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数．
3.有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数．
六、布置作业
习题23．2的8，9.