九年级数学上册 第21章 二次函数与反比例函数21.3 二次函数与一元二次方程教案（新版）沪科版-（新版）沪科版初中九年级上册数学教案.doc

21.3 二次函数与一元二次方程

【知识与技能】
1.体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法；
2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征.
【过程与方法】
经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想.
【情感态度】
培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质.
【教学重点】
经历“类比——观察——发现——归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程.
【教学难点】
准确理解二次函数与一元二次方程的关系.

一、情景导入，初步认知
我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解.
现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题.
【教学说明】让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生的形成解决一类问题的通用方法的思维品质.
二、思考探究，获取新知
1.观察二次函数y=x2+3x+2的图象，并回答下列问题.

（1）每个图象与x轴有几个交点？
（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根有什么关系？
【教学说明】引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲望，大胆猜想，通过交流寻求解决类似问题的方法.
【归纳结论】一元二次方程ax2+bx+c=0.当Δ≥0时有实数根，这个实数根就是对应二次函数y＝ax2＋bx＋c的值等于0时自变量x的一个值，即二次函数的图象与x轴一个交点的横坐标.
2.用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0近似解.（精确到0.1）

由图象可知，方程有两个实数根，一个在-3和-2之间，另一个在0和1之间.
先求位于-3和-2之间的根，由图象可估计这个根是-2.5或-2.4，利用计算器进行探索，见下表：

观察上表可以发现，当x分别取-3和-2时，对应的y由正变负，可见在-3和-2之间肯定有一个x使y=0,即方程的一个根.题目要求精确到0.1,当x=-2.4时，y=-0.04比y=0.25更接近0，所以选x=-2.4.
因此，方程x2+2x-1=0在-3和-2之间精确到0.1的根为x=-2.4.
请仿照上面的方法，求出方程精确到0.1的另一个根.
3.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求：分别画出函数y=x2,y=-2x+1的图象，如图，它们交点A,B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.

【教学说明】引导学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳.
三、运用新知，深化理解
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ B ）

A.ac＞0
B.方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3
C.2a-b=0
D.当x＞0时，y随x的增大而减小
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断.
解：A.∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；
B.∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于（3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；
C.∵抛物线对称轴为x=1，∴2a+b=0，故本选项错误；
D.∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误.
故选B.
2.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（ C ）

A.-1.6 B.3.2
C.4.4 D.以上都不对
【分析】根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图形和已知条件即可求出x2.
解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，
又抛物线是轴对称图象，
∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，
那么两根满足2×3=x1+x2，
而x1=1.6，
∴x2=4.4. 故选C.
3.根据下列表格的对应值：

判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ C ）
A.8＜x＜9 B.9＜x＜10
C.10＜x＜11 D.11＜x＜12
【分析】根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而-0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围.
解：依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，
而-0.38＜0＜1.2，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是10＜x＜11.
故选C.
【教学说明】学生独立完成3个小题，小组交流所做结果，练习巩固，加深理解.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题21.3”中第2、4、8题.

本节课主要是向学生渗透两种思想：函数与方程互相转化的思想；数形结合思想.三种题型：函数图象与x轴交点的横坐标、方程根的个数、函数图象的交点坐标.