积分变换第一章1-2节.ppt

单辑母版标题样式击此处编,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,积分变换,第一章,Fourier,变换,1 Fourier,积分,2 Fourier,变换,3 Fourier,变换的性质,4,卷积与相关函数,5 Fourier,变换的应用,1,1.1 Fourier,积分,但全直线上的非周期函数没有,Fourier,级 数表示；,引进类似于,Fourier,级数的,Fourier,积分,(,周期趋于无穷时的极限形式,),复习,:,周期函数在一定条件下可以展开为,Fourier,级数,；,2,在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和随时间而变的周期函数,f,T,(,t,),打交道,.,例如,:,具有性质,f,T,(,t,+,T,)=,f,T,(,t,),其中,T,称作周期,而,1/,T,代表单位时间振动的次数,(,频率,),.,t,3,人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一,系列的三角函数的线性组合来逼近,.-,Fourier,级数,方波,4,个正弦波的逼近,100,个正弦波的逼近,4,最常用的一种周期函数是三角函数,f,T,(,t,)=,A,sin(,w,t,+,j,),其中,w,=2,p,/,T,所以研究周期函数,f,T,(,t,),如果在区间,-,T,/2,T,/2,上满足,狄利克雷,(Dirichlet),条件,:,1.,连续或只有有限个第一类间断点,;,2.,只有有限个极值点,.,那么在区间,-,T,/2,T,/2,上就可以展成,Fourier,级数,.,t,5,由高数可知,任何满足狄氏条件的周期函数,f,T,(,t,),可表示为三角级数的形式如下,:,6,而利用三角函数的指数形式可将级数表示为,:,7,如令,w,n,=,n,w,(,n,=0,1,2,.),8,对任何一个非周期函数,f,(,t,),都可以看成是由某个周期函数,f,T,(,t,),当,T,时转化而来的,.,作周期为,T,的函数,f,T,(,t,),使其在,-,T,/2,T,/2,之内等于,f,(,t,),在,-,T,/2,T,/2,之外按周期,T,延拓到整个数轴上,则,T,越大,f,T,(,t,),与,f,(,t,),相等的范围也越大,这就说明当,T,时,周期函数,f,T,(,t,),便可转化为,f,(,t,),即有,9,10,如图,O,w,1,w,2,w,3,w,n,-1,w,n,w,11,傅氏积分定理,若,f,(,t,),在,(,-,+),上满足条件,:,1.,f,(,t,),在任一有限区间上满足狄氏条件,;2.,f,(,t,),在无限区间,(,-,+),上绝对可积,则有,12,(1.4),式也可以转化为三角形式,13,又考虑到积分,14,15,例,1,求方波函数,如图所示,:,1,-,1,o,t,f,(,t,),1,16,17,可得,18,1.2,Fourier,变换,1.,Fourier,变换的概念,19,我们知道,若函数,f,(,t,),满足傅氏积分定理的条件,则在,f,(,t,),的连续点处,有,(1.8),式叫做,f,(,t,),的,Fourier,变换式,(1.9),式为,F,(,w,),的,Fourier,逆变换式,f,(,t,),与,F,(,w,),可相互转换,可记为,F,(,w,)=,f,(,t,),和,f,(,t,)=,-1,F,(,w,),20,还可以将,f,(,t,),放在左端,F,(,w,),放在右端,中间用双向箭头连接,:,f,(,t,),F,(,w,),(1.8),式右端的积分运算,叫做,f,(,t,),的,Fourier,变换,同样,(1.9),式右端的积分运算,叫做,F,(,w,),的,Fourier,逆变换,.,F,(,w,),称作,f,(,t,),的,象函数,f,(,t,),称作,F,(,w,),的,象原函数,.,可以说象函数,F,(,w,),和象原函数,f,(,t,),构成了一个,Fourier,变换对,.,21,t,f,(,t,),22,根据,(1.8),式,有,这就是指数衰减函数的,Fourier,变换,.,=,23,根据,(1.9),式,有,=,24,由,(1.8),式,有,=,25,因此有,如果令,b,=1/2,就有,可见钟形函数的,Fourier,变换也是钟形函数,.,26,求钟形脉冲函数的积分表达式,根据,(1.9),式,=,27,作业 习题一,第,10,页,第,1,2(2),题,28,