八年级数学下册第一单元分式教案人教版.doc

第十六章分式单元分析
本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的
分式方程的解法。
全章共包括三节：
　　16．1  分式
　　16．2  分式的运算
　　16．3  分式方程
　　其中，16．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。16．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。16．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。
　　分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。
借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用。解分式方程时，化归思想很有用，分式方程一般要先化为整式方程再求解，并且要注意检验是必不可少的步骤。
16.1分式
教学内容
16.1.1从分数到分式
教学目标
1、类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则.
2、 认识和体会特殊与一般的辩证关系，提高数学运用能力。
3、通过类比分数、分数的基本性质及分数的约分、通分，推测出分式、分式的基本性质及分式约分、通分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣。
重点
分式的意义、分式的基本性质
难点
分式的特点及要求；分子、分母是多项式的约分、通分。
课时安排
1课时
教学方法
合作、探究
教学过程
问题与情境
师生活动
备注
一、 创设情境，导入新课
1、 把两个数相除的形式表示分数形式：
5÷6；6÷5；8÷9；9÷（-8）
2、 分数中的分子、分母与除式中的被除数、除数是什么关系？
3、 为什么分数的分母不能为零？
二、 合作交流，解读探究
做一做
1、 面积为2平方米的长方形一边长x米，则它的另一边长为
米；
2、 面积为S平方米的长方形一边长为a米，则它的另一边长为
米；
3、 一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果售价是 元。
议一议
这几道题计算结果有什么共同特点？它们和分数有什么相同点和不同点？
归纳
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
议一议
在分式中，分母不能为0，如果分式中分母为0，则分式没有意义。
三、 应用迁移，巩固提高
例1下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1） （2） （3）
（4） （5）
想一想
下列各式是不是分式？为什么？

例2:在下列各式中，当x取什么数时，下列分式有意义？

例3在下列分式中，当取什么数时，分式值为零？

四、 课堂练习
课后练习

通过分数类比，概括出分式的概念，培养学生观察、猜想、类比的能力，通过整式与分式的区别，培养学生分类问题的能力

作业
习题16.1复习巩固1、2、3
板书设计
分式
分式的定义 例题
分式有意义
分式无意义
分式值为0
教学内容
11.1.2分式的基本性质
教学目标
理解并掌握分式的基本性质，了解最简分式的概念，根据分式的
基本性质对分式进行约分化简及分式的通分运算，并能正确地找出最简公分母
通过对分式基本性质的归纳，培养学生观察、类比、推理能力，通过对分式约分，提高学生分析问题和解决问题的能力。
重点
根据分式的基本性质，对分式进行约分，通分等有关计算
难点
把分式化为最简分式及找最简公分母。
课时安排
1课时
教学方法
合作、探究
教学过程
问题与情境
师生活动
备注
一、创设情境，导入新课
1、 与相等吗？怎样说明？
2、 怎样计算（步骤？）
3、 分数约分、通分的根据是什么？
二、合作交流，解读探究
议一议
4、 分式的化简运算与分数类似，要进行约分、通分；
5、 分式约分根据是什么？
6、 分式的基本性质类似于分数的基本性质。
归纳
分式的分子与分母同乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变——分式的基本性质
即（M≠0）（其中A、B、M是整式）
三、应用迁移，巩固提高
例1：下列分式变形中正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
例2：不改变分式的值，把下列各式的分子分母中的各项系数都化
为整数，且分子分母不含公因式
（1） （2）
例3：把下列各式约分
归纳：分式的约分就是约去分子与分母的公因式，找公因式的方法是：（1）系数取分子、分母中各项系数的最大公约数；
（2）相同字母取分子与分母中各相同字母最低次幂；
（3）如果分子与分母是多项式，应先因式分解后，再找公因式，特别注意的是约分时符号的变化，若分子或分母含有符号时，一般先转化到分式本身的前面，另外，当分子与分母中因式的底数互为相反数约分时要改变其中一个底数，如例3中的（3）
四、课堂练习
书后练习

通过对分式基本性质的归纳，培养学生观察、类比、推理能力，通过对分式约分，提高学生分析问题和解决问题的能力。

作业
习题16.1复习巩固4、5、6
板书设计
分式的基本性质
分式的基本性质 例题 例题
教后录
分式有意义、分式无意义、分式的值为0，这是三种不同的思考发散的方式，学生从心理上说还有个别的同学不适应，解决的办法是多练习就好。
16.2分式的运算
教学内容
16.2.1分式的乘除（一）
教学目标
理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算.
重点
会用分式乘除的法则进行运算.
难点
灵活运用分式乘除的法则进行运算 .
课时安排
1
教学方法
合作、交流、探究
教学过程
问题与情境
师生活动
备注
创设情境引入新课
1.出示P13本节的引入的问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.
[引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法法则.
1． P14[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.
3．[提问] P14[思考]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则？
类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论.
例题讲解
P14例1.
[分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，在计算结果.
P15例2.
[分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.
P15例.
[分析]这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积产量最高？先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，分别是、，还要判断出以上两个分式的值，哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2=a2-2a+1<a2-2+1,即(a-1)2<a2-1，可得出“丰收2号”单位面积产量高.
随堂练习
计算
（1） （2）
（3） (4)-8xy (5) (6)
课后练习
计算
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）

经历分式的乘除运算规律的发现过程，培养学生自主探索、自主学习、自主归纳知识的能力和运算能力。

师生共同解答。

师共同解答师扶。

师生共同分析解答。师的讲解多一些。

作业
练习册上的相关练习
板书设计
16.2分式的运算
16.2.1分式的乘除（一）
分式的乘法法则 例1解题 例3解题
分式的除法法则 例2解题
教学内容
16.2.1 分式的乘除（二）
教学目标
熟练地进行分式乘除法的混合运算.
重点
熟练地进行分式乘除法的混合运算.
难点
熟练地进行分式乘除法的混合运算.
课时安排
1
教学方法
自主、合作、交流
教学过程
问题与情境
师生活动
备注
创设情境引入新课
计算
（1）
(2)
例题讲解
（P17）例4.计算
[分析] 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.
（补充）例.计算
(1)
= (先把除法统一成乘法运算)
= （判断运算的符号）
= （约分到最简分式）
(2)
= (先把除法统一成乘法运算)
= (分子、分母中的多项式分解因式)
=
=
随堂练习
计算
(1)
（2）
（3）
（4）
课后练习
计算
(1) (2)
(3) (4)
生试做。

师生共同解答。强调计算结果要求化到最简形式。

生板演，发现问题及时纠正。

注意计算的每一步的检查，培养认真学习的好习惯。

作业
练习册上的相关的练习
板书设计
16.2.1分式的乘除（二）
例4
教学内容
16．2．1分式的乘除(三)
教学目标
理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算.
重点
熟练地进行分式乘方的运算.
难点
熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.
课时安排
1
教学方法
自主、合作、交流
教学过程
问题与情境
师生活动
备注
创设情境引入新课
计算下列各题：
（1）==（ ）
(2) ==（ ）
（3）==（ ）
[提问]由以上计算的结果你能推出（n为正整数）的结果吗？
例题讲解
（P17）例5.计算
[分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除.
随堂练习
1．判断下列各式是否成立，并改正.
（1）=
（2）=
（3）=
（4）=
2．计算
(1) （2）
（3）
(4)
(5)
(6)
课后练习
计算
(1) (2)
(3)
(4)
课堂小结：分式的乘除法则：
分式的乘方法则：
师生共同完成。

议一议

师生共同分析解答。

辨别对错，说出错误的原因。培养学生的语言表达能力。

板演，发现问题及时纠正。

要求学生自觉的检查。

学生自己归纳。

作业
练习册上的相关练习
板书设计
16.2.1分式的乘除（三）
分式的乘方法则 例5
教后录
分式的乘除比较容易掌握，学生学习的还是有点不顺手，这是因为第一次接触到代数计算问题，所以还要多加练习才好。
教学内容
16.2.2分式的加减（一）
教学目标
（1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算.
（2）会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.
重点
熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
难点
熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
课时安排
1
教学方法
自主合作交流
教学过程
问题与情境
师生活动
备注
创设情境引入新课
1.出示P18问题3、问题4，教师引导学生列出答案.
引语：从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.
2．下面我们先观察分数的加减法运算，请你说出分数的加减法运算的法则吗？
3. 分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？
4．请同学们说出的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？
例题讲解
（P20）例6.计算
[分析] 第（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个多项式要变号的问题，比较简单；第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积.
（补充）例.计算
（1）
[分析] 第（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式.
解：
=
=
=
=
(2)
[分析] 第（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式.
解：
=
=
=
=
=
随堂练习
计算
(1)
（2）
（3）
（4）
课后练习
计算
(1)
(2)
(3)
(4)

经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养数学学习中转化未知问题为已知问题的能力.在分式的加减、乘除、乘方运算中，培养学生整体思考求异变同的分析问题的能力，提高思维的整体性，灵活性和化归能力。

师要强调化为最简形式。

板演发现问题及时纠正。

培养自检自查的学习习惯。

作业
练习册上的相关的练习
板书设计
16.2.2分式的加减
同分母分式加减法法则 例6解题
异分母分式加减法法则
字母表达式
教学内容
16.2.2分式的加减（二）
教学目标
明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.
重点
熟练地进行分式的混合运算.
难点
熟练地进行分式的混合运算.
课时安排
1
教学方法
自主、合作、交流
教学过程
问题与情境
师生活动
备注
创设情境引入新课
1．说出分数混合运算的顺序.
2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.
例题讲解
（P21）例8.计算
[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.
（补充）计算
（1）
[分析] 这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边..
解：
=
=
=
=
（2）
[分析] 这道题先做乘除，再做减法，把分子的“-”号提到分式本身的前边.
解：
=
=
=
=
随堂练习
计算
(1)
（2）
（3）
课后练习
1．计算
(1)
(2)
(3)
2．计算，并求出当-1的值.
课堂小结：分式混合运算应注意运算顺序——先乘方，再乘除，最后算加减；若有括号，应先算括号内的，若最后运算是乘除，可统一改为乘法，并把分子分母中的多项式因式分解，一同约分，对于条件求值，应先把分式化简，再把已知条件化简，最后代入求值。：

师检查学生学习知识的情况。

猜想运算的顺序写在纸条上一起对结果。

注意提负号的原因和过程及变化要讲清楚。

还是要注意如何提负号。

板演发现问题及时纠正。

培养学生认真检查的好习惯。

生试自己总结归纳发展他们的语言能力。

作业
练习册上的相关的练习
板书设计
16.2.2分式的加减（二）
例7解题 例8解题
教后录
分数的加减同学们掌握的很好，只是个别同学存在一些符号上的问题在以后的学习中还要加强这方面的训练力度。
教学内容
16.2.3整数指数幂
教学目标
1．知道负整数指数幂=（a≠0，n是正整数）.
2．掌握整数指数幂的运算性质.
3．会用科学计数法表示小于1的数.
重点
掌握整数指数幂的运算性质.
难点
会用科学计数法表示小于1的数.
课时安排
1
教学方法
自主、合作探究
教学过程
问题与情境
师生活动
备注
复习已学过的正整数指数幂的运算性质：
（1）同底数的幂的乘法：(m,n是正整数)；
（2）幂的乘方：(m,n是正整数)；
（3）积的乘方：(n是正整数)；
（4）同底数的幂的除法：( a≠0，m,n是正整数，
m＞n)；
（5）商的乘方：(n是正整数)；
0指数幂，即当a≠0时，. 在学习有理数时，曾经介绍过1纳米=10-9米，即1纳米=米.此处出现了负指数幂，也出现了它的另外一种形式是正指数的倒数形式，但是这只是一种简单的介绍知识，而没有讲负指数幂的运算法则.
学生在已经回忆起以上知识的基础上，一方面由分式的除法约分可知，当a≠0时，===；另一方面，若把正整数指数幂的运算性质(a≠0，m,n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么==.于是得到=（a≠0），就规定负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，=（a≠0），也就是把的适用范围扩大了，这个运算性质适用于m、n可以是全体整数.
创设情境引入新课
1．回忆正整数指数幂的运算性质：
（1）同底数的幂的乘法：(m,n是正整数)；
（2）幂的乘方：(m,n是正整数)；
（3）积的乘方：(n是正整数)；
（4）同底数的幂的除法：( a≠0，m,n是正整数，
m＞n)；
（5）商的乘方：(n是正整数)；
2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，.
3．你还记得1纳米=10-9米，即1纳米=米吗？
4．计算当a≠0时，===，再假设正整数指数幂的运算性质(a≠0，m,n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么==.于是得到=（a≠0），就规定负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，=（a≠0）.
例题讲解
（P24）例9.计算
[分析] 是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数
指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式.
（P25）例10. 判断下列等式是否正确？
[分析] 类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断下列等式是否正确.
（P26）例11.
[分析] 是一个介绍纳米的应用题，是应用科学计数法表示小于1的数.
随堂练习
1.填空
（1）-22= （2）(-2)2= （3）(-2) 0=
（4）20= ( 5）2 -3= ( 6）(-2) -3=
2.计算
(1) (x3y-2)2 （2）x2y-2 ·(x-2y)3 (3)(3x2y-2) 2 ÷(x-2y)3
课后练习
1. 用科学计数法表示下列各数：
0．000 04， -0. 034, 0.000 000 45, 0. 003 009
2.计算
(1) (3×10-8)×(4×103) (2) (2×10-3)2÷(10-3)3
课堂小结：综合运用幂的运算法则进行计算，先做乘方，再做乘除，最后做加减，若遇括号，应做括号内的运算；对于底数是分数的负整数指数幂，可抚颠倒分数的分子分母，便可把负整数指数化为已知整数指数，如

通过幂指数扩展到全体整数，培养学生抽象的数学思维能力，运用公式进行计算，培养学生综合解题能力和计算能力

师生共同分析。

注意有负指数幂时，要写成分式形式.

师生共同分析书中设置的问题。

发现问题及时纠正。

培养学生认真检查的好习惯。

生试着总结归纳。

作业
练习册上的相关练习
板书设计
16.2.3整数指数幂
整数指数幂的运算的字母表达式 例9
例10
例11
教后录
这节课成功的就是正整数指数幂的运算过渡到了整数指数幂的运算当中。教学时间安排合理，教学思路清晰，学生听得很明白。达到了预期的学习效果。
16.3分式方程
教学内容
16.3分式方程（一）
教学目标
1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.
2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检
验一个数是不是原方程的增根.
重点
会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是
原方程的增根.
难点
会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是
原方程的增根.
课时安排
1
教学方法
自主、合作、探究
教学过程
问题与情境
师生活动
备注
创设情境，导入新课
1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程
2．提出本章引言的问题：
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速为v千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程.
像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.
例题讲解
（P34）例1.解方程
[分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化
为整式方程，整式方程的解必须验根
这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，这样做也比较简便.
（P34）例2.解方程
[分析]找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,学生容易把整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须验根.
随堂练习
解方程
(1) （2）
（3） （4）
课后练习
1．解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
2．X为何值时，代数式的值等于2？
找学生板演，其他学生用课堂本做。

一起分析解答。观察出等式，引出分式方程的定义。

教师要讲清楚为什么要验根，为什么会出现增根，强调验根的必要性。归纳出解分式方程的步骤。

生板演，发现错误及时纠正，培养学生自我检查的良好的学习的习惯。

作业
练习册上的相关的练习
板书设计
16.3分式方程（一）
解分式方程的步骤 例1 例2
教学内容
16．3分式方程(二)
教学目标
1．会分析题意找出等量关系.
2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.
重点
利用分式方程组解决实际问题
难点
列分式方程表示实际问题中的等量关系.
课时安排
1
教学方法
自主、合作、探究
教学过程
问题与情境
师生活动
备注
开门见山导入。
例题分析讲解。
P35例3
分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.
等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1
P36例4
分析：是一道行程问题的应用题, 基本关系是：速度=.这题用字母表示已知数（量）.等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间
随堂练习
1. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.
2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?
3. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.
课后练习
1．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快 ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。
2．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？
3．甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器个加入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？

重点分析等量关系。

分析等量关系，明确字母也可以代表已知数。

生先分析等量关系并列式，师扶。

生可以合作完成。

作业
练习册上的相关的练习
板书设计
16.3分式的方程（二）
例3 例4
教后录
解分式方程这部分同学们掌握的非常好也明白为何检验公分母的道理，但对于分式的应用这一部分掌握的不是很好。我想这是聋哑人对文字的分析和理解的能力相对弱一些的缘故。