九年级数学圆的全章教案 华师大版 上学期.doc

课题
第1课时:圆(1)
课型
新授
教学目标
1、本节课使学生理解圆的定义；
2、掌握点和圆的三种位置关系．
3、使学生会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系；
4、初步会运用圆的定义证明四个点在同一个圆上．
重点和难点
重点：点和圆的三种位置关系
难点：用集合的观点定义圆，学生不容易理解为什么必须满足两个条件．
教具准备
三角板、实物教具、 投影片
师 生 活 动 过 程
备注
一、新课引入：
同学们，在小学我们已经学习了圆的有关知识，小学学习圆只是一种感性认识，知道一个图形是圆，没有严格的定义什么叫做圆．今天我们继续学习圆，就是把感性认识上升为理性认识，这就要进一步来学习圆的定义．“7．1圆”根据学生已有的知识水平及本节课的特点，首先点题，给学生一种概念，这样可以激发学生的求知欲，抓住学生的注意力．
为了使学生真正体验到数学知识来源于实践，反过来指导实践这一理论．让学生通过观察章前图，使学生真正认识到圆从古至今，无论在实际生活中，还是在工农业生产中时时处处都离不开圆，这说明圆的应用非常广泛，让学生进一步知道圆的作用非常大．圆的性质在本章中处于特别重要的地位．同时也调动起学生积极主动地参与教学活动中．
二、新课讲解：
同学们请观察幻灯片上的图片．出示线段OA，演示将线段OA绕着它的固定端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形是一个什么图形，从而得出圆的定义．
定义：在同一平面内，线段OA绕着它的固定端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．
接着教师提问学生为什么定义中要加上“在同一平面内”这句话？师生共同解释定义中的这句重点词语．
这时教师叫一名中下水平的学生回答圆心、半径的定义．为了更好的理解定义，教师让学生在课前准备好的圆的上面任取三点小A1、A2、A3，观察这三点到圆心O的距离有什么关系？反过来到圆心O的距离都等于半径r的点P1，P2，P3……能得到P1，P2，P3的位置都在哪儿？这样做的目的是让学生亲自动手来参与这个抽象过程，使学生更能加深对定义的理解．这时教师总结出：
1．圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；
2．到定点的距离等于定长的点都在圆上．
满足上述两个条件，我们可以把圆看成是一个集合．
圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
接着为了研究点和圆的位置关系，教师不是让学生被动地接受教师讲，而是让学生在练习本上画一个圆．然后提问学生回答这个圆把平面分成几个部分？有的同学说两部分，有的同学说三部分，到底是几个部分呢？教师引导学生相互议论，最后通过学生的充分感知，得到正确的结论．在进一步揭示圆内部分、圆外部分也可以看成是一个集合，让学生通过观察、比较，归纳出：
圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合．
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合．
若设圆O的半径为r，点O到圆心的距离为d，当点与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时，点和圆的位置关系就由圆内变到圆上再变到圆外．这说明点和圆的位置关系可以得到d与r之间的关系，由d与r的数量关系也可以判定点和圆的位置关系．这时板书下列关系式：

以点O为圆心的圆，记作“⊙”，读作“圆O”．
教师这样做的目的是把点和圆看成是运动变化得到的三种情况，这样便于学生理解．
接下来为了巩固定义，师生共同分析例1．
例1  求证矩形四个顶点在以对角线交点为圆心的同一个圆上．
对于这个问题不是教师讲怎么做，而是引导学生分析这个命题的题设和结论，然后启发学生思考分析这一问题的证明思路．
已知：如图7-1矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
求证：A、B、C、D4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上．

证明：四边形ABCD为矩形

并做好示范作用．
巩固练习：教材 引导学生笔答．
三、课堂小结：
按要求每一堂课做小结，教师要引导学生自己学会小结．
本节课要从三方面做小结，从知识内容方面学习了什么内容？从方法上学到了什么方法？学到了什么新定义符号？
1．从知识方面主要学习了圆的定义，点和圆的三种位置关系．
2．从方法上主要学习了利用点到圆的距离和圆的半径的数量关系判定点和圆的位置关系，会利用圆的定义证明四个点在同一个圆上．
这样小结的目的，使学生能够把学过的知识系统化、网络化，形成认知结构，便于学生掌握．
四、布置作业：
1． 教材
2.参考题：
一、单选题（20分）
（1）已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（ ）（A）5（B）4（C）3（D）2
（2）已知圆内一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（ ）（A）5（B）4（C）3（D）2
二、填空题（20分）
（1）_____确定圆的位置,________确定圆的大小.
（2）圆内各点到圆心距离_______,圆上各点到圆心距离________,圆外各点到圆心距离________
三、简答或解答题（60分）
（1）过⊙O上一点E作半径AO的垂线EK,K为垂足,延长EK到F,使KF=KE,则点F的位置是在⊙O的什么位置? 并画出示意图说明.
（2）△ABC中,∠A=90°，AD⊥BC于D，AC=5cm，AB=12cm，以D为圆心，AD为半径作圆，则三个顶点与圆的位置关系是什么？画图说明理由。
（3）证明对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上.

课题
第2课时：圆(二)
课型
新授
教学目标
1、本节课使学生理解弦、弧、弓形、同心圆、等圆、等孤的概念．
2、初步会运用本节的概念判断真假命题．
3、逐步培养学生亲自动手实践，总结出新概念的能力．
重点和难点
重点： 理解圆的有关概念．
难点：对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的
教具准备
三角板、实物教具、 投影片
师 生 活 动 过 程
备注
一、新课引入：
同学们，上节课我们学习了圆的定义、点和圆的位置关系．教师提问学生回答上节课的知识点，学生之间互相补充、评价．
接着启发学生在练习本上画一个圆，要求学生在圆上任取两点A、B．请同学们一边画图，一边观察，一边思考教师提出的问题．这两点A、B之间的部分是什么？连结两点得到线段AB又是什么？AB把圆分成两部分得到图形又叫做什么？在学生想说又叫不准的情况下，教师出示板书．这节课我们专门研究圆的有关概念．
二、新课讲解：
学生画图后观察出圆的一些概念，由学生回答出概念的名称和内容．如果学生回答的很准确，教师不必重复．在学生回答中，教师板书出重点概念．
1．弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．教师提问一名中下生，“一个圆有多少条弦？”找一名中等生回答“在这些弦中，最长的弦是什么？怎么定义这个最长的弦？”
2．直径：经过圆心的弦是直径．
直径与半径之间关系找一名中下学生回答．
3．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．简称弧．教师讲清弧的符号“ ”的表示．以A、B为端点的弧，记作 ，读作“圆弧AB”或“孤AB”．
这时教师引导学生观察圆中的圆弧有几种情况？通过学生观察、比较、归纳出三种圆弧，师生一起总结出这三种弧的定义．半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆弧．
优弧：大于半圆的弧叫优弧．
优弧CBA，记作“ ”是优弧．
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．
这时幻灯打出一组练习题：
练习1  判断下列语句是否正确？为什么？
1．半圆是弧．2．弧是半圆．3．两个劣弧之和等于半圆．
4．两个劣弧之和等于圆周长．
这样做的目的使学生对圆弧的定义加以理解．
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．了解到弓形定义，为了使学生更好地了解圆中一条弦能得到两个弓形，引导学生观察得到，这样对今后学习弦所对的圆周角的问题起奠基作用．
接下来讲同心圆、等圆、等弧的三个概念时，从字意义让学生探索出概念的内含外延．培养学生通过理解字意感受到图形与概念的有机结合，是学习好几何的基本保障．
例如同心圆：即圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．
等圆的讲解以投影演示，让学生观察、比较得出等圆是互相重合两个圆．由等圆可以证明半径相等，直径相等．反过来半径相等，直径相等两个圆是等圆．同时告诉学生同圆或等圆的半径相等．
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
等弧是本节的难点，教师从引导学生能“理解互相重合”入手，联系到如果互相重合．说明同圆的半径相等，进一步证明满足同圆或等圆的前提条件．这样分析的好处是让学生真正认识到等圆、等弧都是从“互相重合”得到的，进一步理解“等弧”的条件已经具备同圆或等圆，这样又消除对等弧不理解的心理障碍，从而顺理成章的让学生从认识→到理解→最后到准确应用．
接下来给学生一组练习题巩固已学过的知识．学生回答，学生之间参与评价．
练习2  判断题：
1．直径是弦；2．弦是直径；3．半圆是弧，但弧不一定是半圆；
4．半径相等的两个半圆是等弧；5．长度相等的两条弧是等弧；
例2  如图在圆O中，AB、CD为直径．求证：AD∥BC．
由学生分析，学生写出证明过程，学生纠正存在问题．
巩固练习：
教材
三、课堂小结：
本节小结引导学生自己做出总结：
1．本节所学的知识点有：

2．方法上要进一步理解的有：
①弦与直径，
②弧与半圆，
③同心圆、等圆指两个图形，
④等圆，等弧是互相重合得到，等弧的条件作用．
3．新定义符号“ ”的表示方法．
四、布置作业：
1.教材
2.参考题：
一、判断题
（1）直径是弦，但弦不一定是直径。（ ）
（2）半径相等的两个圆叫等圆。（ ）
（3）直径相等的两个圆是等圆。（ ）
（4）半圆是弧，但弧不一定是半圆。（ ）
（5）长度相等的两条弧是等弧。（ ）
（6）连接圆上任意两点所得的图形叫圆弧。（ ）
（7）等弧的长度一定相等。（ ）
（8）经过圆心的直线是直径。（ ）
二、单选题
（1）下列说法正确的是（ ）
（A）半圆是弧（B）弧是半圆（C）劣弧大于半圆（D）优弧小于半圆
（2）过圆O内一点的最长弦长为10cm，那么圆的直径是（ ）
（A）20cm　　（B）10cm　　（C）5cm　　　　 （D）以上都不对
（3）下列说法中正确的是（ ）
（A）四边形的四个顶点都在同一个圆上（B）菱形的四个顶点在同一个圆上（C）矩形的四个顶点在同一个圆上　（D）平行四边形的四个顶点在同一个圆上
三、解答题
（1）如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，OD=4cm，求BC的长。

（2）如图，已知Rt △ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,∠A=30°,E是AC的中点,以D为圆心,DE为半径作圆,问:(1)A、B、C三点与⊙D的位置关系如何？说明理由。(2)若BC=1，能否求出A点距离D的最短距离？

课题
第3课时：过三点的圆
课型
新授
教学目标
1、本节课使学生了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法．
2、了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念．
3、培养学生观察、分析、概括的能力；
重点和难点
重点： 经过不在一条直线上三点确定圆的定理．
难点：理解“不在一条直线上”确定圆的条件．
教具准备
三角板、实物教具、 投影片
师 生 活 动 过 程
备注
一、新课引入：
某一个城市在一块空地上新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上．要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．请问同学们这所中学建在哪一个位置？你怎么确定这个位置呢？教师提出问题，学生思考回答．
接着教师进一步提出这样一个问题，初一我们学习了直线公理，直线公理内容是什么？教师重复学生的回答：“经过两点确定一条直线．”对于一个圆来说，是否也有由几点确定的问题呢？此时教师出示课题：“经过三点的圆”，教师这种引导虽然简短，但在学生的心理上起到了一定的定势作用，使学生明确了本节课的教学目标，学生带着一种好奇心，兴致勃勃去探索研究怎么作圆，从而调动学生学习积极性．
二、新课讲解：
学生在教师的引导下，亲自动手试验发现经过三点的圆，这三点的位置要进行讨论．有两种情况；①在一条直线上三点；②不在一条直线上三点，通过学生小组的讨论认为不在同一条直线上三点能确定一个圆．怎样才能做出这个圆呢？这时教师出示幻灯片．
例1 作圆，使它经过不在同一直线上三点．
由学生分析首先得出这个命题的题设和结论．
已知：△ABC．求作：⊙O，使它经过A、B、C三点．
接着教师进一步引导学生分析要作一个圆的关键是要干什么？由于一开课在设计学校的位置时，学生已经有了印象，学生会很快回答是确定圆心，确定圆心的方法：作△ABC的三边垂直平分线，三边垂直平分线的交点O就是圆心．圆心O确定了，那么要经过三点A、B、C的圆的半径可以选OA或OB都可以．作图过程教师示范，学生和老师一起完成．一边作图，一边指导学生规范化的作图方法及语言的表达要准确．
定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
注意：经过在同一条直线上三点不能确定一个圆．
这样做的目的，不是教师“填鸭式”的往里灌，而是学生自己经过探索确定圆的条件，这样得到的结论印象深刻，效果要比全部由老师讲更好．
接着，由于学生完成了作圆的过程，引导学生观察这个圆与△ABC的顶点的关系，得出：
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
强调“接”指三角形的顶点在圆上，“内接”、“外接”指在一个图形的“里面”和“外面”．理解这些术语的意义，指出语言表达的规范化．为了更好的掌握新概念，出示小黑板的练习题．
练习1：按图7-4填空：
（1）△ABC是⊙O的________三角形；
（2）⊙O△ABC的________圆．
这组题的目的就是理解“内接”，“外接”的含意，
练习2：判断题：
（1）经过三点一定可以作圆；（    ）
（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（    ）
（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（    ）
（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（    ）
（5）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．（    ）
这组练习题主要巩固对本节课的定理和有关概念的理解，加深学生对概念辨析的准确性．
练习3：经过4个（或4个以上的）点是不是一定能作圆？
练习4：
选择题：钝角三角形的外心在三角形   [    ]
A．内部 B．一边上 C．外部 D．可能在内部也可能在外部
练习3、4两道小题，引导学生动手画一画，和对定理的理解是否深刻，训练学生思维的广阔性和准确性有关．
练习5：教材
三、课堂小结：
师生共同完成总结．
知识点方面：

2．（1）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
3．

方法方面：
1．用尺规作三角形的外接圆的方法．
2．重点词语的区别：“内接”，“外接”．
四、布置作业：
1．教材

2． 补充作业：已知一个破损的轮胎，要求在原轮胎的基础上补一个完整的轮胎．

课题
第4课时：垂直于弦的直径（一）
课型
新授
教学目标
1、使学生通过观察实验理解圆的轴对称性；
2、掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；
3、能初步应用垂径定理进行计算和证明．
4、进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．
重点和难点
教学重点： 垂径定理及应用．
教学难点：垂径定理的证明
教具准备
三角板、实物教具、 投影片
师 生 活 动 过 程
备注
一、新课引入：
请同学们回答下列问题：
1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做________；那么这条直线叫做________．
2、等腰三角形是轴对称图形吗？
3、“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？
教师利用提问1．，2．的形式，复习轴对称图形的概念．提问3．的目的是引出本节课的第一个知识点．
在学生回答后，引导学生观察电脑演示将圆对折的情形．教师讲解将圆沿着一条直径对折，你观察到了什么情况？这时学生回答，教师板书．
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．
接着电脑继续演示，教师讲解：

由图7-9（1）中CD为⊙O的直径；变到图7-9（2）中在⊙O上任意取一点A；再变到图7-9（3）从点A作直径CD的垂线交⊙O于另一个交点B．这时我们可以看出图（3）中的点B与点A是否是对称点呢？A、B是关于什么对称．教师进一步提出当直径CD垂直于弦AB，将能得到什么结论呢？这就是本节学习的内容．“7．3垂直于弦的直径（一）”．教师这样引入课题的目的，使学生从认识上初步完成实验——观察——感性——理性的认识过程．逐步学会从实践中引入、从现象中抽象、从事实中概括，从而激发学生的学习动机．
二、新课讲解：
为了使学生进一步通过实验的观察，很快地概括出本课的教学内容，由图7-9（1）可知CD所在直线是⊙O的对称轴；到图7-9（2）从⊙O上取一点A，过点A作直径CD的垂线交⊙O于点B，得到图7-9（3），这时沿着CD折叠，引导学生观察重合部分，学生纷纷猜想结论．通过实验——观察——猜想获得感性认识．这个实验结论是否正确，还需要证明．学生带着一种好奇心，积极主动参与到证明这个结论中去．学生回答证明过程，教师板书．
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．
求证：AE=EB， = ， = ．
证明：连结OA，OB，则OA=OB．又CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是△O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合．因此，AE=BE， = ， = ．从而得到圆的一条重要性质．
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条
垂径定理是由演示实验——观察——感性——理性的全过程．为了使学生能够真正理解垂径定理，引导学生分析垂径定理的题设和结论，加深对定理的认识并强化用数学表达式表示出来：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
〈2〉     〈1〉 〈3〉        〈4〉 〈5〉
把直径化分为（1）；把垂直于弦化分为（2）；把平分弦化为（3）；平分优弧化为（4）；平分劣弧化分为（5）．
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．这样做目的是加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混．
接着为了巩固垂径定理，引导学生完成下面两道题．
例1  如图7-10，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．

分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，

学生回答，教师板书计算过程．
解：连结OA，作OE⊥AB，垂足为E．
∵OE⊥AB，∴AE=EB．
∵AB=8cm，∴AE=4cm．
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，

∵⊙O的半径为5cm．
强调：从例1可以知道作“弦心距”是很重要的一条辅助线，弦心距的作用就是平分弦，平分弦所对的弧，它和直径一样．
求圆的半径问题，要和弦心距，弦的一半和半径构造出一个直角三角形，和勾股定理联系起来．
例2  已知：如图7-11，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．
例2由学生分析证明思路，学生板书证明过程．师生共同参与评价．
练习1：教材 中1题．
练习2：教材 中2题．
练习1，2两道题教师把题打在幻灯片上，由学生上黑板分析思路，学生之间展开评价．这样做给学生充分的表现机会，不是老师牵着学生走，而是学生通过积极思维主动获得知识．

最后找两名同学上黑板写出证明过程，其它同学在练习本上完成．每小组派一名学生辅导有问题的学生，使不同层次的学生共同提高．
三、课堂小结：
小结由学生完成，教师进一步强调．
1．本节课学习的知识点
（1）圆的轴对称性；
（2）垂径定理及应用．
2．方法上主要学习了
（1）垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形．
（2）在圆中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距．
（3）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足（1）过圆心；（2）垂直于弦；则可得（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．
四、布置作业
教材

课题
第5课时：垂直于弦的直径（二）
课型
新授
教学目标
1、使学生掌握垂径定理的两个推论；
2、会利用推论1作一些简单的作图题．
3、继续培养学生观察、比较、分析、概括问题的能力及动手操作的基本技能；
重点和难点
教学重点：垂径定理的两个推论．
教学难点：垂径定理的推论1．
教具准备
三角板、实物教具、 投影片
师 生 活 动 过 程
备注
一、新课引入：
同学们，上节课我们学习了圆的重要性质垂径定理．请两名中等生回答定理内容，并说出这个定理的题设和结论．这时教师引导学生观察．若（1）过圆心；（2）垂直于弦；则（3）平分弦；（4）平分这条弦所对的优弧；（5）平分这条弦所对的劣弧．将（2）和（3）对调，得到一个命题，将（1）和（3）对调，得到一个命题；然后将（2）和（4）或（5）对调，又得到一个命题．接着又将直径CD旋转到和弦AB平行时，又出现一个新命题．这时教师点题．“垂直于弦的直径（二）”．刚才得到的四个命题，就是我们本节要学习的垂径定理的两个推论．教师这样做的目的是让学生明白垂径定理的两个推论，就是在原来定理的题设和结论做一小小的调换而得到的，使学生感觉新知识不新，容易产生兴趣，减轻学生的心理压力，使学生充满着自信投入到教学活动中．
二、新课讲解：
为了使学生真正体验垂径定理的重要，在取材处理上，没有象教科书那样直接给出推论1、推论2．而是将垂径定理的题设和结论进行对调，发现新命题，总结新命题，教师概括出推论1．再进一步将垂径定理的直径旋转到和弦AB平行时，又得到一个新命题，也就是推论2．这样不仅让学生了解了新知识与旧知识之间的联系，也体现了知识的连贯性和系统性．这样既开发了学生的智力，又调动了学生学习的积极性和主动性．同时又增强了学生应用数学的意识．
学习提问：
请回答垂径定理内容，并叙述定理的题设和结论．学生回答，教师板书，画出图形．
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
若①过圆心，②垂直于弦，则③平分弦④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧．
题  设                 结  论

将②和③对调，可得新命题为：

由于一个圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．所以得到上面命题的结论，必须加上“弦不是直径”这一条件．教师用文字叙述为：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
将①和③对调，又得新命题为：

④直线CD平分ACB，⑤直线CD平分ADB．
从而得到：（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．以上三条是垂径定理的推论1；
请同学继续观察，当直径CD旋转与弦AB平行时，可得新的命题为：

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．教师引导学生回述证明过程．
数学表述成为：AB∥CD = ．
接着做练习：
练习1：“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗？为什么？
练习2：按图7-14填空：在⊙O中，

（1）若MN⊥AB，MN为直径，则______，______，______；
（2）若AC=BC，MN为直径，AB不是直径，则______，______，______；
（3）若MN⊥AB，AC=CB，则______，______，
（4）若 = ，MN为直径，则______，______，______．
这两个练习题学生回答，学生评价．练习题做完后教师接着讲例3．
例3  平分已知弧 ．教师引导学生回答已知，求作．

已知： ．
求作： 的中点．
分析：要将 两等分，如何确定 的中点呢？
学生在教师的启发下，想出作圆的方法，这时教师
进一步提出问题；连结AB，作AB的垂直平分线交 于点E，为什么可以说E点是 的中点呢？根据什么？作图由学生自己完成．
教师这样做的目的是引导学生学习平分弧的方法，通过积极思考得到解决办法，这样理解深刻，不容易出错．
练习3：
书
三、课堂小结：
本节课主要学习了垂径定理的两个推论．利用推论1举出平分弧的作图．

四、布置作业
1.书
2.补充作业：
1．已知：如图7-15，AB为⊙O的直径，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，垂足分别为C，D．求证：AE=BF．

3． 已知：如图7-16，AB为⊙O直径，CD为弦，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：（1）CF=DE（2）∠OEF=ZOFE

课题
第6课时：垂直于弦的直径（三）
课型
新授
教学目标
1、使学生能够熟练掌握垂径定理及两个推论；
2、使学生能够运用垂径定理及两个推论进行有关的证明和计算．
3、通过例4的教学使学生了解垂径定理在实际问题中的应用，进一步提高学生用数学的意识；
重点和难点
教学重点：垂径定理及推论的应用．
教学难点：实际问题转化为数学问题．
教具准备
三角板、实物教具、 投影片
师 生 活 动 过 程
备注
一、新课引入：
这节课的主要内容是应用题例4，例4是一个实际问题，它反映了数学与生产实际的联系，它要求学生用数学的理论、思想、方法建立实际问题的数学模型，以解决实际问题．这对进一步培养学生分析问题和解决问题有很大的帮助．本节课就是引导学生把例4的实际问题转化成一个数学问题，然后综合运用垂径定理、勾股定理来加以解决．
为了进一步理解运用垂径定理解决实际问题，教师有目的地安排两组复习题，启发学生进行回答．
复习提问：
1．垂径定理内容是什么？
2．判断题：
①垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；（    ）
②弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧；（    ）
③经过弦中点的直径一定垂直于弦；（    ）
④圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦一定平行；（    ）
⑤平分弦所对的一条弧的直径一定垂直平分这条弦．（    ）
学生回答的对错，由学生之间评价，从而得到正确答案．其目的就是为了强化所学过的垂径定理及推论1、推论2，为本节课做准备工作．
二、新课讲解：
例4  1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧中点到弦的距离，也叫弓形的高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）．

同学们，请看图7-18上这座石桥，这座桥就是例4中的古代的赵州石拱桥，学生一边观察桥的结构，教师一边讲解：“赵州桥又名安济桥，位于河北省赵县城南洨河上，是我国现存的著名古代大石桥，是隋代开皇大业年间（590～608）李春创建．桥为单孔，全长50.82米，桥面宽约10米，跨径约为33米，拱圈矢高约7米，弧形平缓，拱圈由28条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，又节省材料，又便于排水，且增美观，在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之大在当时亦属创举，这反映了我国古代劳动人民的智慧与才能．现在这座桥为全国重点文物保护单位．”教师一席话一方面向学生进行爱祖国的教育；另一方面激发学生的学习动机，点燃学生的思维火花，激起学生思维的热情，使学生的思维处于最佳状态．
教师为了让学生了解赵州石拱桥的背景，激发学生的求知欲望，当学生对这座桥产生好奇时，教师启发学生：“我们如何来求出这座桥的半径呢”？接着教师分析：“我们知道这是一座石拱桥，我们可以把桥拱抽成一个几何图形，就是一个圆弧形”．这时教师画出图7-19．

对于一个实际问题求半径的长，能否转化成一个数学问题来解决呢？这就需要首先分析已知什么条件和欲求的未知是什么？师生共同分析解题思路．教师板书：
解：圆 表示桥拱，设 的圆心为O，半径为R米．
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于足C，根据垂径定理，D是 的中点，C是AB的中点，CD就是拱高．由题设
AB=37.4，CD=7.2，

OD=OC-DC=R-7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2，
即  R2=18.72+（R-7.2）2
解这个方程，得R≈27.9（米）．
答：赵州石拱桥的半径约为27.9米．
在例4的处理上，教师采取一边画图，一边分析，一边板书．目的让学生掌握关于求弦、半径、弦心距及弓形高等问题，属于典型的数形结合问题，对于解决这种典型的问题就是依据已知和未知设法构造直角三角形，通过这个直角三角形就能把垂径定理和勾股定理有机地结合起来，就能很快地把未知转化为已知．从而所求问题得以解决．
巩固练习：
书P
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=60mm，求油的最大深度．
对于这道题主要由学生分析，教师适当点拨．
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决．
总结解题思路：

巩固练习：
教材．
三、课堂小结：
本节课主要要求学生综合运用垂径定理和勾股定理解决圆中线段的长等问题．
如图在⊙O中，设⊙O半径为R，弦AB=a，弦心距OD=d，弓形的高DE=h．且OE⊥AB于D．

已知：①R、d，求a、h．
②R、h，求a、d．
③R、a，求d、h．
④d、h，求R、a．………
对于在⊙O中在R，a，d，h中，只要已知两个量就可求出另外的两个量．所应用的知识点是勾股定理和垂径定理．
本节课主要解题思路：

四、布置作业：

课题
第7课时：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）
课型
新授
教学目标
1、本节课使学生理解圆的旋转不变性；
2、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理，并能应用这些关系定理证明一些问题．
3、通过本节课的教学进一步培养学生观察、比较、归纳、概括问题的能力．
重点和难点
重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理．
难点：“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理”中的“在同圆或等圆”的前提条件的理解．
教具准备
三角板、实物教具、 投影片
师 生 活 动 过 程
备注
一、新课引入：
同学们请观察老师手中的圆形图片．AB为⊙O的直径．①我把⊙O沿着AB折叠，两旁部分互相重合，我们知道这个圆是一个轴对移图形．②若把⊙O沿着圆心O旋转180°时；两旁部分互相重合，这时我们可以发现圆又是一个中心对称图形．由学生总结圆不仅是轴对称图形，圆也是中心对称图形．
若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这就是我们本节课要讲的内容：圆的一条特殊性质，即圆的旋转不变性．从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，这是本节课我们所要学习的圆的又一条性质．
二、新课讲解：
首先出示圆形图片，
引导学生观察：

下面我们来学习圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．
提问两名中下生回答弧、弦的概念．
接着教师一边画图，一边引导学生观察，由学生总结出：
圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．
弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．教师通过图片（图7-21）演示，从学生观察中得到圆的旋转不变性，到圆心角、弦心距的两个概念，其目的是要求学生学会从观察、比较到归纳分析知识的能力，这样可以充分调动学生学习几何的积极性．
教师为了使学生真正了解图中圆心角、弧、弦、弦心距之间的内在联系，有意识找两位差一些的学生回答：“指出圆心角∠AOB所对的弧是______，所对的弦是______，所对弦的弦心距是______．
接下来我们来讨论：在⊙O中，如果圆心角∠AOB=∠A′OB′，那么它们所对的 和 ，弦AB和A′B′、弦心距OM和OM′是否也相等呢？
教师利用电脑演示，一边讲解，我们把∠AOB连同AB沿着圆心O旋转，使射线OA与OA′重合．由圆的旋转不变性，射线OB与OB′重合．因为∠AOB=∠A′OB’，OA=OA′，OB=OB′，∴点A与点A′重合，AB与A′B′重合，从点O到AB的垂线OM和点O到A′B′的垂线OM′也重合．
即， = ，AB=A′B′，OM=OM′．
于是由一名学生总结定理内容，教师板书：
定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
教师进一步提出这样一个问题：这个命题不加“在同圆或等圆”这个前题条件是否是一个真命题呢？
学生分小组讨论，由小组代表发表自己的意见．教师概括如下：
这个定理的题设是：“在同圆或等圆中”、圆心角相等；结论是：“所对的弧相等”、“所对弦相等”、“所对弦的弦心距相等”．
值得注意的是：在运用这个定理时，一定不能丢掉“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论．

教师为了培养学生的思维批判性，请一名同学画一个只能是圆心角相等的这个条件的图，虽然∠AOB=∠A′OB′，但由于OA≠OA′，OB≠OB′．通过举出反例强论对定理的理解．

这时教师分别把两个圆心角用①表示；两条弧用②表示；两条弦用③表示；两条弦的弦心距用④表示，我们就可以得出这样的结论．

事实上，由于在“同圆或等圆中”这个前提下，将题设和结论中任何一项交换都是正确的．于是得到了这个定理的推论，
为了巩固所学习的定理，黑板上出示例1：
例1  如图7-23，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D．求证：AB=CD．
这道题的证明思路，教师引导学生分析：要证明两弦AB=CD，根据本节课所学的定理及推论，只要能证出圆心角、弧、弦心距三个量之中的一个相等即可．由于已知PO是∠EPF的平分线，利用角平分线的性质可知点O到AB、CD的距离相等，即弦心距相等，于是可证明AB=CD．
学生回答证明过程，教师板书：
证明：作OM⊥