八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中八年级上册数学教案.doc

第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法

【知识与技能】
(1)了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系.
(2)了解公因式的概念和提取公因式的方法.
(3)会用提公因式法因式分解.
【过程与方法】
通过整式乘法与因式分解互逆变形得出因式分解的概念，通过观察、讨论、总结来明确提公因式法.
【情感态度与价值观】
激发学生探究新知识的兴趣与热情，体会数学知识之间的相互联系、相互转化.

会用提公因式法因式分解.

如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式.

多媒体课件.

教师出示练习题，并要求学生独立完成：
1.解决下面各题：
(1)m(a+b)=( )；
(2)(a+b)(a-b)=( )；
(3)(a+b)2=( ).
2.根据上面的计算，完成下面的填空：
(1)ma+mb= ( )( )；
(2)a2-b2=( )( )；
(3)a2+2ab+b2=( )2.
教师提出问题：以上两组题目有什么不同点?有什么联系?
学生思考后，举手回答.
教师点评并引入：我们知道，利用整式的乘法运算，有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式.反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式.这节课我们就来学习因式分解.(板书课题)

探究1：因式分解
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
(1)x2+x=x(x+1)；
(2)x2-1=(x+1)(x-1).
让学生观察上述两个式子和ma+mb=m(a+b)，这些式子的共同特点是什么？
学生通过观察得出：等式左边都是多项式，右边都是乘积的形式.
教师补充：上述式子，左边是一个多项式，右边是两个整式的乘积，这种从左到右的变形，我们叫作因式分解.
师生共同总结：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.(教师板书)
教师强调：正确理解因式分解要注意以下三点：(1)因式分解的对象是多项式，不是单项式，也不是以后我们要学习的分式.(2)因式分解的结果是整式的乘积的形式，每个因式必须是整式，且每个整式的次数都不高于原来多项式的次数.(3)不能走回头路，如x2-1=(x+1)(x-1)=x2-1，本来已经完成了对x2-1的因式分解，但习惯性地按整式乘法算出x2-1的结果，就画蛇添足了.
出示练习：
在下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？为什么？
(1)12ab=3a·4b；
(2)(x+3)(x-3)=x2-9；
(3)4x2-8x-1=4x(x-2)-1；
(4)2ax-2ay=2a(x-y)；
(5)a2-4ab+4b2=(a-2b)2.
学生自己独立判断，口答后，师生共同点评.
教师追问：因式分解与整式的乘法有什么关系？
学生独立思考，举手回答.
教师点评：如果把整式的乘法看作一个变形过程，那么多项式的因式分解就是整式的乘法的逆过程；如果把多项式的因式分解看作一个变形过程，那么整式的乘法又是多项式的因式分解的逆过程.因此，多项式的因式分解与整式的乘法互为逆过程，一方面说明了两者之间的密切关系，另一方面又说明了两者的根本区别.
教师出示练习：根据乘法运算的算式，把下列多项式因式分解：

学生根据乘法运算和因式分解的关系独立完成练习，并及时订正答案.在完成以上题目的基础上，教师用图文表示出二者之间的关系，并板书：

探究2：提公因式法
教师引入：我们了解了因式分解的定义，下面我们来学习因式分解的其中一种方法——提公因式法.
教师出示投影：如图14-3.1-1，计算三个宽都为m的小长方形的面积的和，可以将它们拼成一个大长方形来计算面积，这个过程可以用代数式表示为ma+mb+mc=m(a+b+c).

由单项式乘多项式可知，m(a+b+c)=ma+mb+mc，反过来，ma+mb+mc一定等于m(a+b+c)，我们知道这种变形就是因式分解.
教师提出问题：在ma+mb+mc=m(a+b+c)中，m又被称作什么呢？
学生讨论并尝试命名.在学生充分观察、讨论的基础上，教师给予点拨.
教师说明：公因式就是多项式中各项都含有的相同因式.

让学生从公因式的定义出发，去分析、比较、确定答案，教师引导学生总结在理解公因式的定义时应注意什么.在充分交流后，教师对四个选项逐一讲述，并强调公因式的定义要注意两点：
(1)每一项都含有，体现“公”字.
(2)各项所含有的因式相同.
教师：明白公因式的定义后，有些同学可能会思考怎样才能正确地确定一个多项式的各项公因式？
师生共同总结确定公因式的方法：
(1)取多项式各项系数的最大公因数为公因式的系数.
(2)取各项都含有的相同字母或相同因式的最低次幂作为公因式的因式.
接着，教师出示一个例子：求多项式的公因式.
学生可先由以上两条法则试求，有困难时教师再引导.
教师提出：我们学公因式的目的是为了进行因式分解，怎样用提公因式法进行因式分解呢？
教师直接引出：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法.
在讲述完定义后，教师设计以下问题：
1.提公因式法的依据是什么？
2.利用提公因式法进行因式分解的步骤是什么？
教师引导学生回答.
教师强调：(1)提公因式法的关键是确定公因式，但提出公因式后，还应准确地确定另一个因式.
(2)提公因式的依据是逆用乘法分配律.
(3)提公因式时要防止出现以下错误：①漏项.②变错符号.
教师出示教材P115例1：
把分解因式.
教师先要求学生思考这个问题的最后结果，再仿照教材进行分析，注意讲清楚确定公因式的具体步骤，从数、字母和字母的次数三个方面进行分析；因式分解完成后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式4ab2，另一个因式是否还有公因式？从而把提公因式的“提”的具体含义深刻化，这是提公因式法的正确性的重要保证.
师生共同解答，教师板书：

教师出示教材P115例2：
把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.
教师引导学生仔细观察该多项式的每项因式的特点，从而发现，把(b+c)看作一个“整体”时，公因式就是(b+c)，再用提公因式法进行分解.
学生独立完成解答过程.
解：2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).
接着，教师让学生完成教材P115练习第1~3题，分别找几名学生代表上台板演，师生共同点评.

1.（1）因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
(2)因式分解与整式乘法的联系与区别：
联系：都是由几个相同的整式组成的等式.
区别：二者是一个式子的不同表现形式，因式分解是两个或几个因式积的表现形式，而整式乘法是多项式的表现形式.
2.公因式：
(1)在多项式pa+pb+pc中，各项都含有一个公共的因式p，因式p叫作这个多项式各项的公因式.
(2)公因式的确定方法：各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂的积.
3.提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法.