七年级数学下册《再探实际问题与二元一次方程组（第2课时）》课案 新人教版.doc

课案（教师用）
实际问题与二元一次方程组
(新授课)
【理论支持】
杜威认为，教育就是儿童现在生活的过程，而不是将来生活的预备。他说:“生活就是发展，而不断发展，不断生长，就是生活。”因此，最好的教育就是“从生活中学习”、“从经验中学习”。教育就是要给儿童提供保证生长或充分生活的条件。
《数学课程标准》指出：“以人为本，人人都学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”，要通过合作交流培养学生自主探索，寻找结论的学习意识．
学生已初步掌握了本章知识，他们已经能比较熟练得求出二元一次方程组的解，知道用二元一次方程组表示等量关系．七年级学生活泼好动，乐于展示、表现自我，求知欲较强．
本章知识是在学习了一元一次方程及应用后的又一种重要的用来表示数量关系的数学模型，用它解决某些实际问题比用一元一次方程更简捷，但在解法上他们又存在着相互转化的关系，在这节的教学中不仅要让学生充分认识到消元这种思想方法的重要性，更重要的是让他们进一步体会知识的形成过程，提高他们能准确选择模型解决问题的能力．
【教学目标】
知识技能
能根据现实生活中与方程组有关的实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组，解决生活中的实际问题．
数学思考
让学生通过自己的探索、尝试、比较等活动去从复杂的生活情景中抽象出数学模型，感悟“未知”转化为“已知”的数学思想．
解决问题
提高分析问题、解决问题的能力和创新意识，培养学生多角度灵活思考问题的数学品质，拓展学生的思维空间．
情感态度
让学生经历和体验列出方程组解决实际问题的过程，进一步体会方程组在解决生活实际问题过程中的重要地位，感受数学的价值，激发学习数学的兴趣，并渗透爱国主义教育．
【教学重难点】
1. 重点：通过学生自主探究和发现、同伴合作交流、师生共同研讨，体验将生活中的实际问题转化成数学问题的过程．
2. 难点：从实际问题中挖掘条件，建立量与量之间的相等关系，形成解决实际问题的一般性策略是本节课的难点．
【课时安排】
共4课时（第2课时）
【教学设计】
课前延伸
一、基础知识填空及答案
1．某哨卡运回一箱苹果，若每个战士分6个，则少6个；若每个战士分5个，则多5个，那么这个哨卡共有________名战士，箱中有_______个苹果．
2．如果长方形的周长是20cm，长比宽多2cm．若设长方形的长为xcm，宽为ycm，则所列方程组为_________．
3．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分．小英做了全部试题得70分，则她做对了________道题．
4．足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一支青年足球队参加15场比赛，负4场，共得29分，则这支球队胜了（ ）
A．2场 B．5场 C．7场 C．9场
5．学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是3：2，求两种球各有多少个？若设篮球有x个，排球有y个，依题意，得到的方程组是（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙二人按2：5的比例投资开办了一家公司，约定除去各项开支外，所得利润按投资比例分成．若第一年赢得14000元，那么甲、乙二人分别应分得（ ）
A．2000元，5000元 B．5000元，2000元
C．4000元，10000元 D．10000元，4000元
〖答案〗1．11；60 点拨：设有x名战士，箱中有y个苹果，依题意，得 解得
2．
3．21 点拨：设做对了x道题，做错了y道错，依题意，得解得
4．D 点拨：设这个球队胜了x场，平了y场，依题意，
得解得 故选D．
5．C
6．C
7．解：设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，依题意，得
解这个方程组，得
答：用110张铁皮做盒身，80张铁皮做盒底．
〖设计说明〗
引导学生根据所给实际问题，不由自主地使用二元一次方程组解决问题，感受二元一次方程组解决问题比一元一次方程更方便；所选练习均较贴近学生的实际生活，这是因为最好的教育就是“从生活中学习”、“从经验中学习”.
课内探究
一、导入新课：
前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决．
（出示问题）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：1.5，现要在一块长180 m，宽100 m的长方形土地, 分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样把这块地，使甲、乙两种作物的总产量的比是4：3？
〖设计说明〗
以学生身边的实际问题展开学习，突出数学与现实生活的联系，培养学生用数学的意识；本题是将课本例题的数据进行适当的修改而得，其目的是简化计算，这样可以让学生将主要精力放在对应用题本身的分析上．
二、探索新知
学生自主探索，整理思路：
⑴ 先确定有两种方法分割长方形
⑵ 分别求出两个小长方形的面积
⑶ 计算分割线的位置．
或⑴ 求两个小长方形的面积比
⑵ 计算分割线的位置．
〖设计说明〗
皮亚杰认知发展理论认为真正的学习是儿童主动的、自发的学习，教师应保持学生的学习主动性和自主性，使他们积极地参与到学习活动中来，此处让学生自主探究有助学生提高分析问题，解决问题的能力，使其成为学习的主人．
三、合作交流解决问题
1.引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路
⑴ 审清题意
⑵ 设未知数
⑶ 找相等关系，列方程组
⑷ 解方程组
⑸ 检验并作答
〖设计说明〗
在学习一元一次方程解决实际问题时，学生已经掌握了列方程解决实际问题的基本思路，在这里只要引导学生回顾一下即可，小组合作可以采用兵教兵的形式提高学习效率.
2.通过画图理解题意，找出相等关系，列方程组．
如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.
设AE=xm，BE=ym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组．

解这个方程组得

过长方形土地的长边上离一端120 m处，把这块地分为两个长方形．较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物．
〖设计说明〗
实践性思维始于具体情境下所遇到的问题，通过师生共同讨论，教师帮助学生克服困难或回避障碍，锻炼和提高学生的实践思维能力。教师通过引导学生分析已画图形，数形结合，找出相等关系，列出方程组，解决问题，通过这一过程提高学生分析问题解决问题的能力．
3.发散思维，多角度解决问题
⑴ 你还能设计别的种植方案吗？
用类似的方法，可沿平行于线段AB的方向分割长方形．
⑵ 如果题中没有限定分为“两块小长方形土地”你能得到更多的划分方案吗？你能把分割线画为曲线吗？
〖设计说明〗
布鲁纳指出，学校中的发现学习不局限于对未知世界的发现，更重要的是引导学生凭借自己的力量对人类文化知识的“再发现”．引导学生发散思维，寻求解决途径．安排开放题，以利于培养学生探索精神和创新意识．
4. 拓展探究综合应用
小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图2⑴所示，小红看见了，说：“我来试一试”结果小红七拼八凑，拼成了如图2⑵的正方形，中间还留下一个洞，恰好边长是2cm的小正方形，你能计算出每个长方形的长和宽吗？

〖参考答案〗
设每个长方形的长为xmm，宽为ymm，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，两个长加2的和等于一个长与两个宽的和，于是得方程组：
解得答：每个长方形的长为10mm，宽为6mm．
〖设计说明〗
动手操作，对图形的剪、拼、平移、翻折并利用它解决相关些问题是新课标要求学生，本题是以此为背景，要求学生通过对图形的观察，从不同角度寻找边之间的相等关系，巩固用二元一次方程组解决实际问题的一般过程，并不断提高分析问题的能力．
5．课堂反馈训练：
某纸品厂要制作如图1所示的甲、乙两种无盖的长方体小盒，该厂利用边角料裁出了长方形和正方形两种纸片，其中长方形纸片的宽与正方形纸片的边长相等，现将150张正方形纸片和300个长方形纸片用来制作这两种小盒（不计连结部分）可以做甲、乙两种小盒各多少个？

解：设可制作甲种小盒x个，乙种小盒y个．因为一个甲种小盒需一张正方形纸片，4张长方形纸片；一个乙种纸盒需2张正方形纸片和3张长方形纸片，从而寻找相等关系列出方程组解之．
由题意可知：解得
答：可制作甲种小盒30个，乙种小盒60个．
〖设计说明〗
当堂反馈训练的这一环节的实施，不但使学生对所学的新知识得到及时巩固和提升，同时又使老师对学生所学知识的掌握情况有所了解．
6. 感悟与反思
提问：通过本节课的讨论，你对用方程解决实际的方法又有何新的认识？学生思考后回答、整理．
课后提升
1．（应用题）
⑴某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉数
不超过
20千克
超过20千克但
不超过40千克
40千克
以上
每千克价格
6元
5元
4元
张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强两次各购买香蕉多少千克．
⑵宏泰毛纺厂购进由甲、乙两种原料配成的两种材料，已知一种材料按甲：乙=5：4配料，每吨50元；另一种材料按甲：乙=3：2配料，每吨48.6元．求甲、乙两种原料的价格各是多少？
〖参考答案〗1．⑴解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克，由题意，
得0<x<25．
①当0<x≤20，y≤40时，由题意，得
解得：
②当0<x≤20，y>40时，由题意，得
解得：
（不合题意，舍去）
③当20<x<25时，25<y<30．此时张强用去的款项为
5x+5y=5（x+y）=5×50=250<264．（不合题意，舍去）
综合①②③可知，强张第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克．
⑵解：设甲、乙两种原料的价格分别是每吨x元，每吨y元，依题意，得
整理，得
解这个方程组，得
答：甲、乙两种原料的价格分别是36元/吨、67.5元/吨．
点拨：“按甲：乙＝5：4配料”是指一吨这种配料中有甲原料吨，乙原料吨．
2．⑴某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表：
捐款（元）
1
2
3
4
人数
6

7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．
若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组（ ）
A． B． C． D．
〖参考答案〗A
3．为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．
①求原计划拆、建面积各是多少平方米？
②若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？
〖参考答案〗解：设原计划拆除旧校舍x平方米，新建校舍y平方米，根据题意得：
①
解得
答：原计划拆除旧校舍4800平方米，新建校舍2400平方米．
②实际比原计划拆除与新建校舍节约资金是：
（4800×80+2400×700）-[4800×（1+10%）×80+2400×80%×700]=297600（元）．
用此资金可绿化面积是297600÷200=1488（平方米）
答：原计划拆除旧校舍4800平方米，新建校舍2400平方米，实际施工中节约的资金可绿化1488平方米．
4．某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同．随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．
（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
〖参考答案〗解：⑴设书包的单价为x元，随身听的单价为y元，依题意，得
解这个方程组，得
答：书包的单价是92元，随身听的单价是360元．
（2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：
452×80%=361.6（元）．
∵361.6>400，∴可以在超市A购买．
在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：
360+2=362（元）．
∵362<400，∴也可以选择在超市B购买．
∵362>361.6，∴在超市A购买要省钱．
5.（智趣题）
小圆盖大圆
桌子上有一个半径为1的大纸圆，另有许多直径为1的小纸圆．现在要用这些小的圆去盖住大圆，问：至少要用几个小圆？
〖参考答案〗至少要用7个小圆．
〖设计说明〗
在学生掌握用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤和思路的基础上，联系实际拓展应用，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．