七年级数学下册 同底数幂的除法教案2 北师大版.doc

同底数幂的除法 教学设计
教学设计思想：
本节内容由一课时讲授；通过对上节课知识的回顾，引导学生思考，引入主题，再通过师生共同探索同底数幂的概念和性质，在教学过程中，通过引导的方式使学生思考、总结的能力得以提高。
教学目标：
知识与技能
1．叙述同底数幂的除法运算法则，能应用它解决实际问题；
2．掌握零指数和负整指数.
过程与方法
1．在进一步体会幂的意义的过程中，发展推理能力和表达能力；
2．能熟练灵活地运用法则进行同底数幂的除法运算，培养数学能力
情感、态度与价值观
感受数学的应用价值，体会数学与社会生活的联系，提高数学素养.
教学重点：同底数幂的除法运算法则及其应用.
教学难点：对零指数和负整指数意义的理解.
教学方法：探索——引导相结合.
教具准备：投影片.
教学安排：１课时.
教学过程：
一、创设问题情景，引入新课
在上节课，我们计算过地球和太阳的体积，如果地球的体积大约是9.05×1011，太阳的体积大约为9.05×1013，请问，太阳的体积是地球体积的多少倍？
教师活动：
1．引导学生讨论，说出自己的思考过程.
2．这种运算叫同底数幂的除法.

二、探索同底数幂的除法运算法则：

图1－15
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？你是怎样计算的？
［师］这是和数学有密切联系的现实世界中的一个问题，下面请同学们根据幂的意义和除法的意义，得出这个问题的结果.
［生］根据题意，可得需要这种杀菌剂1012÷109个.
而1012÷109==
=10×10×10=1000(个)
［生］我是这样算1012÷109的.
1012÷109=(109×103)÷109
==103=1000.
［师］1012÷109是怎样的一种运算呢？
［生］1012×109是同底数幂的乘法运算，1012÷109我们就称它为同底数幂的除法运算.
［师］很好！通过上面的问题，我们会发现同底数幂的除法运算和现实世界有密切的联系，因此我们有必要了解同底数幂除法的运算性质.
三、了解同底数幂除法的运算及其应用
［师］下面我们就先来看同底数幂除法的几个特例，并从中归纳出同底数幂除法的运算性质.
做一做：计算下列各式，并说明理由(m>n).
(1)108÷105；(2)10m÷10n；(3)(－3)m÷(－3)n.
［生］解：(1)108÷105
=(105×103)÷105 ——逆用同底数幂乘法的性质
=103；
［生］解：(1)108÷105
== ——幂的意义
=1000=103；
［生］解：(2)10m÷10n
= ——幂的意义
==10m－n ——乘方的意义
(3)(－3)m÷(－3)n
= ——幂的意义
= ——约分
=(－3)m－n ——乘方的意义
［师］我们利用幂的意义，得到：
(1)108÷105=103=108－5；
(2)10m÷10n=10m－n(m>n)；
(3)(－3)m÷(－3)n=(－3)m－n(m>n).
观察上面三个式子，运算前后指数和底数发生了怎样的变化？你能归纳出同底数幂除法的运算性质吗？
［生］从上面三个式子中发现，运算前后的底数没有变化，商的指数是被除数与除数指数的差.
［生］从以上三个特例，可以归纳出同底数幂的运算性质：am÷an=am－n(m,n是正整数且m>n).
［生］小括号内的条件不完整.在同底数幂除法中有一个最不能忽略的问题：除数不能为0.不然这个运算性质无意义.所以在同底数幂的运算性质中规定这里的a不为0，记作a≠0.在前面的三个幂的运算性质中，a可取任意数或整式，所以没有此规定.
［师］很好！这位同学考虑问题很全面.所以同底数幂的除法的运算性质为：
am÷an=am－n(a≠0,m、n都为正整数，且m>n)运用自己的语言如何描述呢？
［生］同底数幂相除，底数不变，指数相减.
［师］能用幂的意义说明这一性质是如何得来的吗？
［生］可以.由幂的意义，得
am÷an===am－n.(a≠0)
［例1］计算：
(1)a7÷a4；(2)(－x)6÷(－x)3；
(3)(xy)4÷(xy)；(4)b2m+2÷b2；
(5)(m－n)8÷(n－m)3；(6)(－m)4÷(－m)2.
(7)地震的强度通常用里克特震级表示.描绘地震级数字表示地震的强度是10的若干次幂.例如用里克特震级表示地震是8级，说明地震的强度是107.1992年4月，荷兰发生了5级地震，12天后，加利福尼亚发生了7级地震.加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的多少倍？
分析：开始练习同底数幂的除法运算时，不提倡直接套用公式，应说明每一步的理由，进一步体会乘方的意义和幂的意义.
解：(1)a7÷a4=a7－4=a3；(a≠0)
(2)(－x)6÷(－x)3=(－x)6－3=(－x)3=－x3；(x≠0)
(3)(xy)4÷(xy)=(xy)4－1=(xy)3=x3y3；(xy≠0)
(4)b2m+2÷b2=b(2m+2)－2=b2m；(b≠0)
(5)(m－n)8÷(n－m)3=(n－m)8÷(n－m)3=(n－m)8－3=(n－m)5；(m≠n)
(6)(－m)4÷(－m)2=(－m)4－2=(－m)2=m2.(m≠0)
(7)根据题意，得：
106÷104=106－4=102=100
所以加利福尼亚的地震强度是荷兰的100倍.
评注：1°am÷an=am－n(a≠0,m、n是正整数，且m>n)中的a可以代表数，也可以代表单项式、多项式等.
2°(5)小题，(m－n)8÷(n－m)3不是同底的，而应把它们化成同底，或将(m－n)8化成(n－m)8,或把(n－m)3化成－(m－n)3.
3°(6)小题，易错为(－m)4÷(－m)2=－m2.－m2的底数是m,而(－m)2的底数是－m,所以(－m)4÷(－m)2=(－m)2=m2.
四、探索零指数幂和负整数指数幂的意义
想一想：
10000=104, 16=24,
1000=10( ), 8=2( ),
100=10( ), 4=2( ),
10=10( ). 2=2( ).
猜一猜
1=10( ), 1=2( ),
0.1=10( ),=2( ),
0.01=10( ), =2( ),
0.001=10( ). =2( )
［师］我们先来看“想一想”，你能完成吗？完成后，观察你会发现什么规律？
［生］1000=103， 8=23，
100=102， 4=22，
10=101. 2=21.
观察可以发现，在“想一想”中幂都大于1，幂的值每缩小为原来的(或)，指数就会减小1.
［师］你能利用幂的意义证明这个规律吗？
［生］设n为正整数，10n>1,当它缩小为原来的时，可得10n×====10n－1；又如2n>1,当它缩小为原来的时，可得2n×==2n÷2=2n－1.
［师］保持这个规律，完成“猜一猜”.
［生］可以得到猜想
1=100， 1=20，
=0.1=10－1, =2－1,
=0.01=10－2, =2－2,
=0.001=10－3. =2－3.
［师］很棒！保持上面的规律，大家可以发现指数不是我们学过的正整数，而出现了负整数和0.
正整数幂的意义表示几个相同的数相乘，如an(n为正整数)表示n个a相乘.如果用此定义解释负整数指数幂，零指数幂显然无意义.根据“猜一猜”，大家归纳一下，如何定义零指数幂和负整数指数幂呢？
［生］由“猜一猜”得
100=1，
10－1=0.1=,
10－2=0.01==,
10－3=0.001==.
20=1
2－1=,
2－2==,
2－3==.
所以a0=1,
a－p=(p为正整数).
［师］a在这里能取0吗？
［生］a在这里不能取0.我们在得出这一结论时，保持了一个规律，幂的值每缩小为原来的,指数就会减少1，因此a≠0.
［师］这一点很重要.0的0次幂，0的负整数次幂是无意义的，就如同除数为0时无意义一样.因为我们规定：a0=1(a≠0)；a－p=(a≠0,p为正整数)
我们的规定合理吗？我们不妨假设同底数幂的除法性质对于m≤n仍然成立来说明这一规定是合理的.
例如由于103÷103=1,借助于同底数幂的除法可得103÷103=103－3=100,因此可规定100=1.一般情况则为am÷am=1(a≠0).而am÷am=am－m=a0,所以a0=1(a≠0)；
而am÷an=(m<n)==,根据同底数幂除法得am÷an=am－n(m<n,m－n为负数).令n－m=p,m－n=－p,则am－n=,即a－p=(a≠0,p为正整数).
因此上述规定是合理的.
［例3］用小数或分数表示下列各数：
(1)10－3；(2)70×8－2；(3)1.6×10－4.
解：(1)10－3===0.001；
(2)70×8－2=1×=；
(3)1.6×10－4=1.6×=1.6×0.0001=0.00016.
六、课时小结
［师］这一节课收获真不小，大家可以谈一谈.
［生］我这节课最大的收获是知道了指数还有负整数和0指数，而且还了解了它们的定义：a0=1(a≠0),a－p=(a≠0,p为正整数).
［生］这节课还学习了同底数幂的除法：am÷an=am－n(a≠0,m,n为正整数，m>n),但学习了负整数和0指数幂之后，m>n的条件可以不要，因为m≤n时，这个性质也成立.
［生］我特别注意了我们这节课所学的几个性质，都有一个条件a≠0,它是由除数不为0引出的，我觉得这个条件很重要.
［师］同学们收获确实不小，祝贺你们！
Ⅴ.课后作业
1.课本P21，习题1.7第1、2、3、4题.
2.总结幂的四个运算性质，并反思作业中的错误.
Ⅵ.活动与探究
解关于x的方程(x－1)|x|－1=1.
［过程］这个方程是一个指数方程，乍一看无从下手，但冷静思考后你会发现方程的左边是幂的形式，右边是1，一个数的幂是1有三种情况：其一，1n=1；其二，(－1)2n=1；其三， a0=1(a≠0).所以解此方程只需抓住这三点便能解决.
［结果］解：分三种情况：
(1)当x－1=1时，即x=2时，方程左边=1|2|－1=1，右边=1，所以左边=右边，x=2是此方程的解；
(2)当x－1=－1时，即x=0时，方程左边=(－1)|0|－1=(－1)－1=－1,右边=1，所以左边≠右边，x=0不是方程的解；
(3)当|x|－1=0且x－1≠0时，即x=－1时，方程左边=(－1－1)|1|－1=(－2)0=1，右边=1，所以左边=右边，x=－1是方程的解.
综上所述，方程的解为2或－1.
板书设计
§1.5 同底数幂的除法
1.同底数幂的除法
归纳：am÷an=am－n(a≠0,m、n都是正整数且m>n)
说明：am÷an===am－n.
语言描述：同底数幂的除法，底数不变，指数相减.
2.零指数幂和负整数指数幂
a0=1(a≠0)
a－p=(a≠0,p为正整数)
3.例题(由学生板演)