第45讲压轴之函数与几何综合类型③等腰三角形存在性问题探究.doc

句容市第二中学 九年级数学（2017-2018学年度复习案） 校本教材

第45讲 等腰三角形存在性问题探究
主备人： 刘永忠 审核人：孙百平
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【考点】1．某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形．
2．动点在几何图形的边上运动与两个定点构成等腰三角形．
【重点】1．某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形．
2．动点在几何图形的边上运动与两个定点构成等腰三角形．
【难点】动点坐标与动线段长度的转化不能较好理解．
【知识梳理】
首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点(若某边为底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况)．先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标，按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程，解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点(就是不能构成三角形这个题意)．
【典型例题及针对训练】
【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F.设运动时间为t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2)，试确定S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF∶S△ACD＝9∶16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【例2】如图，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)的顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO，直线y＝－x＋1与y轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)证明：△DBO∽△EBC；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．

【提升训练】
1、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－2)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线l是抛物线的对称轴，设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在线段AB上是否存在点M(m，0)，使得以线段CM为直径的圆与边BC交于Q点(与点C不同)，且以点Q，B，O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

2．【启东市二模】操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，设A、P两点间的距离为x．
探究：
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应x的值；如果不可能，试说明理由．

3. 【太仓模拟】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4.【无锡市梁溪区一模】如图，Rt△ABC中，M为斜边AB上一点，且MB=MC=AC=8cm，平行于BC的直线l从BC的位置出发以每秒1cm的速度向上平移，运动到经过点M时停止．直线l分别交线段MB、MC、AC于点D、E、P，以DE为边向下作等边△DEF，设△DEF与△MBC重叠部分的面积为S（cm2），直线l的运动时间为t（秒）．
（1）求边BC的长度；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，是否存在这样的时刻t，使得以P、C、F为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）在整个运动过程中，是否存在这样的时刻t，使得以点D为圆心、BD为半径的圆与直线EF相切？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

完成时间

月 日
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