高中物理奥赛光学例题解析.doc

西北师范大学第一附属中学奥班专用资料
光学例题补充
一、 光的直线传播、光的反射、光的折射、光的色散
例题1：（23分）封闭的车厢中有一点光源S，在距光源l处有一半径为r的圆孔，其圆心为O1，光源一直在发光，并通过圆孔射出．车厢以高速v沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动，如图所示．某一时刻，点光源S恰位于x轴的原点O的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点．在地面参考系中坐标为xA处放一半径为R（R >r）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与x轴垂直．板的圆心O2 、S、、O1都等高，起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上．由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到屏上的情况．不考虑光的衍射．试求：
1．车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻．
2．地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻．
解析：
1． 相对于车厢参考系，地面连同挡板以速度v趋向光源S运动．由S发出的光经小孔射出后成锥形光束，随离开光源距离的增大，其横截面积逐渐扩大．若距S的距离为L处光束的横截面正好是半径为R的圆面，如图所示。
根据几何关系，得
r
R
l
L
S

解得：
(1)
设想车厢足够长，并设想在车厢前端距S为L处放置一个半径为R的环，相对车厢静止，则光束恰好从环内射出．当挡板运动到与此环相遇时，挡板就会将光束完全遮住．此时，在车厢参考系中挡板离光源S的距离就是L．在车厢参考系中，初始时，根据相对论，挡板离光源的距离为：
(2)
故出现挡板完全遮住光束的时刻为：
(3)
由（1）、（3）式，得
(4)
2．相对于地面参考系，光源与车厢以速度v向挡板运动．光源与孔之间的距离缩短为：
(5)
而孔半径r不变，所以锥形光束的顶角变大，环到S的距离即挡板完全遮光时距离应为：
(6)
初始时，挡板离S的距离为xA，出现挡板完全遮住光束的时刻为：
(7)
例题2：（20分）内半径为R的直立圆柱器皿内盛水银，绕圆柱轴线匀速旋转（水银不溢，皿底不露），稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点，纵坐标轴z与圆柱器皿的轴线重合，横坐标轴r与z轴垂直，则液面的方程为，式中ω为旋转角速度，g为重力加速度（当代已使用大面积的此类旋转水银液面作反射式天文望远镜）。
观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处，保持位置不变，然后使容器停转，待液面静止后，发现与稳定旋转时相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求人眼位置至稳定旋转水银面最低点的距离。
解析：旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦，此抛物凹面镜的焦距为：
（1）
由（1）式，旋转抛物面方程可表示为：
（2）
停转后液面水平静止，由液体不可压缩性，知液面上升，以下求抛物液面最低点上升的高度．
抛物液面最低点以上的水银，在半径、高的圆柱形中占据体积为的部分，即附图中左图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体；其余体积为的部分无水银．体在高度处的水平截面为圆环，利用抛物面方程，得处圆环面积：
（3）
将体倒置，得附图中右图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体，相应抛物面方程变为：
（4）
其高度处的水平截面为圆面，面积为：
（5）
由此可知：
（6）
即停转后抛物液面最低点上升：
（7）
因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜，抛物镜的焦点就是球面镜的焦点，故可用球面镜的公式来处理问题.两次观察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜反射而成，而先后看到的像的大小、正倒无变化，这就要求两像对眼睛所张的视角相同． 设眼长为，凹面镜成像时，物距即所求距离，像距v与像长分别为：
（8）
（9）
平面镜成像时，由于抛物液面最低点上升，物距为：
（10）
像距与像长分别为：
（11）
（12）
两像视角相同要求：
（13）
即：
（14）
此处利用了(8)—(12)诸式．
由（14）式可解得所求距离：
（15）
评分标准：本题20分.
(1)式1分，(7)式4分，(8)、(9)式各2分，(10) 、(11)、 (12)式各1分，(13)式6分，(15)式2分．
二、透镜成像规律的应用
1.透镜成像作图
（1）三条特殊光线
①通过光心的光线，方向不变；
②平行主轴的光线，折射后过焦点；
③通过焦点的光线，折射后平行主轴。
（2）一般光线作图：对于任一光线SA，过光心O作轴平行于SA，与焦平面 交于P点，连接AP或AP的反向延长线即为SA的折射光线。
（3）*像与物的概念：发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物”。一个物点上发出的光束，经一系列光学系统作用后，若成为会聚光束，则会聚点为物的实像点；若成为发散光束，则其反向延长线交点为物的虚像点；若为平行光束则不成像。
2.薄透镜成像公式
薄透镜成像公式是：

式中f、u、v的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。若令，，则有：

该式称为“牛顿公式”，式中x是物到“物方焦点”的距离，是像到“像方焦点”的距离。从物点到焦点，若顺着光路则x取正，反之取负值；从像点到焦点，若逆着光路则取正值，反之取负值，该式可直接运用成像作图来推导，请读者自行推导，从而弄清，的意义。下面用牛顿公式讨论一个问题。
例题3：一个光源以v=0.2m/s的速度沿着焦距f=20cm的凸透镜向光心运动，当它经过距光心和的两点时，求像所在的位置及速度。
解析：
，
代入牛顿公式，得
，，，，
图1-5-2

上述，，，的意义，如图1-5-2所示。
设在△t时间内，点光源的位移为△x，像点的位移为，得

当△t→0时△x→0，略去△x的二阶小量，得

将，，，的值代入，求得，。
像移动方向与物移动方向相反。
*“实正、虚负”法则：凸透镜焦距取正值，凹透镜焦距取负值；实像像距取正值，虚像像距取负值。实物物距取正值，虚物物距取负值。
*实物与虚物：发散的入射光束的顶点（不问是否有实际光束通过此顶点）是实物；会聚的入射光束的顶点（永远没有实际光束通过该顶点）是虚物。
例题4：如图1-4-10所示，一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半径均为，透镜的折射率为n，考察由透镜后表面反射所形成的实像。试问物放于何处， 图1-4-10

可使反射像与物位于同一竖直平面内（不考虑多重反射）。
解析: 从物点发出的光经透镜前表面（即左表面）反射后形成虚像，不合题意，无须考虑。
从物点发出的光经透镜前表面折射后，再经透镜后表面反射折回，又经前表面折射共三次成像，最后是实像，符合题意。
利用球面折射成像公式和球面反射成像公式，结合物与像共面的要求。就可求解。
球面反射的成像公式为：，其中反射面的焦距为（R为球面半径），对凹面镜，f取正值，对凸面镜，f取负值。
球面折射的成像公式为：

当入射光从顶点射向球心时，R取正值，当入射光从球心射向顶点时，R取负值。
图1-4-11甲

如图1-4-11甲所示，当物点Q发出的光经透镜前表面折射后成像于，设物距为u，像距为，根据球面折射成像公式：

这里空气的折射率，透镜介质的折射率，入射光从顶点射向球心，R=r取正值，得
（1）
这是第一次成像。
图1-4-11乙

对凸透镜的后表面来说，物点Q经透镜前表面折射所成的像点是它的物点，其物距（是虚物），经透镜后表面反射后成像于，像距为（如图1-4-11乙所示），由球面反射成像公式，得

将前面数据代入，得
（2）
这是第二次成像。
由透镜后表面反射成的像点又作为透镜前表面折射成像的物点，其物距（是虚物），再经过透镜前表面折射成像于，像距为，（见图1-4-11丙所示），再由球面折射成像公式，得
图1-4-11丙

这时入射光一侧折射率，折射光一侧折射率1（是空气），入射光由球心射向顶点，故R值取负值。所以上式可表示为：

代入前面得到的关系，得
（3）
这是第三次成像。
由（1）、（2）两式可解得：
（4）
再把（4）式和（3）式相加，得
（5）
为使物点Q与像点在同一竖直平面内，这就要求：

代入（5）是可解得物距为：
说明：由本题可见，观察反射像，调整物距，使反射像与物同在同一竖直平面内，测出物距P，根据上式就可利用已知的透镜折射率n求出透镜球面的半径r，或反过来由已知的球面半径r求出透镜的折射率n。
例题5：（23分）有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。所有光学元件均放在一直长圆筒内。筒内有：三个焦距分别为、和的透镜,,，；观察屏P，它是一块带有刻度的玻璃片；由三块形状相同的等腰棱镜构成的
分光元件（如图1所示），棱镜分别用折射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行。圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为S，缝平行于棱镜的底面．当有狭缝的一端对准筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。
已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为589.3 nm，称为D线）位于圆筒轴与观察屏相交处。制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠D线的折射率＝1.5170；另一种为火石玻璃，它对钠D线的折射率=1.7200。
1.试在图2中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。
2. 试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角的数值。
解析：
1． 圆筒内光学元件的相对位置如图1所示．各元件的作用如下：
L2
L1
L3
狭缝
S
P
圆筒轴
图1

狭缝S：光源的光由此进入分光镜，观察到的谱线就是狭缝的像．
透镜L1：与狭缝的距离为f1，使由狭缝射来的光束经L1后成为与圆筒轴平行的平行光束．
分光棱镜：使由L1射来的平行光束中频率不同的单色光经棱镜后成为沿不同方向出射的平行光束．
透镜L2：使各种单色平行光束经L2 成像在它的焦平面上，形成狭缝的像（即光谱线）．
观察屏P：位于L2焦平面上，光源的谱线即在此屏上．
透镜L3：与P的距离f3，是人眼观察光谱线所用的放大镜（目镜）．
2．已知钠黄光的谱线位于P的中央，S的像位于L2 的焦点上，由此可知，对分光棱镜系统来说，钠黄光的入射光束和出射光束都与轴平行，由于棱镜系统是左右对称，因此钠黄光在棱镜内的光路应该是左右对称的，在中间棱镜中的光路应该与轴平行，分光元件中的光路图如图2所示，左半部的光路如图3．用i1、r1、i2、r2分别表示两次折射时的入射角和折射角，用n1、n2分别表示两块棱镜对D线的折射率，由图3可以看出，在两棱镜界面上发生折射时，，表明，即中间的棱镜应用折射率较大的火石玻璃制成，两侧棱镜用冕牌玻璃制成，故有=1.5170，=1.7200．
图2
r1
i2
r2
i1

n2

n1
图3

由几何关系可得
（1）
（2）
由折射定律可得
（3）
（4）
从以上各式中消去、、和得
（5）

解（5）式得
（6）
以，代入，得
（7）
u

v

图1-5-4

3.组合透镜成像
如果由焦距分别为和的A、B两片薄透镜构成一个透镜组（共主轴），将一个点光源S放在主轴上距透镜为u处，在透镜另一侧距透镜v处成一像（图1-5-4）所示。对这一成像结果，可以从以下两个不同的角度来考虑。
因为A、B都是薄透镜，所以互相靠拢地放在一起仍可看成一个薄透镜。设这个组合透镜的焦距是f，则应有：
①
另一个考虑角度可认为是S经A、B两个透镜依次成像的结果。如S经A后成像，设位于A右侧距A为处，根据透镜成像公式，得
②
因为位于透镜B右侧处，对B为一虚物，物距为，再经B成像，所以：
③
由②、③，得
④
比较①、④两式，可知

如果A、B中有凹透镜，只要取负的或代入即可。
例题6：(20分)目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）．如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明．
L
S1
S3
P
a
a
S2
a
h
h
z
如图，S1、S2、S3 是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为a =arctan的圆锥形光束．请使用三个完全相同的、焦距为f = 1.50h、半径为r =0.75 h的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z轴（以S2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S2为 L = 12.0 h处的P点．（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距．）
1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置．
2．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据．
解析：
1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光源的连线，O2位于z轴上，如图1所示．图中表示组合透镜的平面，、、为三个光束中心光线与该平面的交点． ＝ u就是物距．
根据透镜成像公式，得
(1)
解得：

因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utana ≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f 和L的值，解得
≈1.757h (2)
此解满足上面的条件．
分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）．
由几何关系知，得
(3)
即光心O1的位置应在之下与的距离为：
(4)
同理，O3的位置应在之上与的距离为0.146h处．
由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点．
0.146h
0.854h
0.439h
0.439h
h
S1’
O2 (S2’)
O1
W1
W2
Q
Q’
N
N’
T
T’
C1
C2’
圆1
圆2
图2
x2
x1
K
2．现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜．
因为三个透镜的半径r = 0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于＝＝0.854h<2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．
图2画出了L1、L2放在平面内时相互交叠的情况（纸面为平面）．图中C1、C2表示L1、L2的边缘，、为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为C1、C2与O1O2的交点．
为圆心的圆1和以（与O2重合）为圆心的圆2分别是光源S1和S2投射到L1和L2时产生的光斑的边缘，其半径均为：
(5)

根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K点（见图2）是否落在L1上？
由几何关系，得
(6)
故从S1发出的光束能全部进入L1．为了保证全部光束能进入透镜组合，对L1和L2进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分．
下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．
在O1和O2之间作垂直于O1O2且分别与圆1和圆2相切的切线和．若沿位于和之间且与它们平行的任意直线对透镜L1和L2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L2的下半部和L3进行切割，然后将L2的下半部和L3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S1、S2、S3发出的全部光线都会聚到P点．
现在计算和的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L1被切去部分沿O1O2方向的长度为x1，透镜L2被切去部分沿O1O2方向的长度为x2，如图2所示，则对任意一条切割线， x1、x2之和为：
（7）
由于必须在和之间，从图2可看出，沿切割时，x1达最大值(x1M)，x2达最小值(x2m)。

代入r，r 和的值，得
(8)
代入(7)式，得
(9)
由图2可看出，沿切割时，x2达最大值(x2M)，x1达最小值(x1m)。

代入r和r 的值，得
(10)
（11）
由对称性，对L3的加工与对L1相同，对L2下半部的加工与对上半部的加工相同．
评分标准：
本题20分．第1问10分，其中（2）式5分，（3）式5分，第2问10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．
如果学生解答中没有(7)—(11)式，但说了“将图2中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给3分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证O1O2=O1O2=0.854h，再给1分，即给(7)—(11)式的全分（4分）
三、 光的干涉、光的衍射
例题7：（25分）图1所示为杨氏双缝干涉实验的示意图，取纸面为yz平面。y、z轴的方向如图所示。线光源S通过z轴，双缝S1、S2对称分布在z轴两侧，它们以及屏P都垂直于纸面。双缝间的距离为d，光源S到双缝的距离为l，双缝到屏的距离为D，，。
1.从z轴上的线光源S出发经S1、S2不同路径到P0点的光程差为零，相干的结果产生一亮纹，称为零级亮纹。为了研究有一定宽度的扩展光源对于干涉条纹清晰度的影响，我们先研究位于轴外的线光源S′形成的另一套干涉条纹，S′位于垂直于z轴的方向上且与S平行，两者相距，则由线光源S′出发分别经S1、S2产生的零级亮纹，与P0的距离

图1
2.当光源宽度为的扩展光源时，可将扩展光源看作由一系列连续的、彼此独立的、非相干的线光源组成。这样，各线光源对应的干涉条纹将彼此错开，在屏上看到的将是这些干涉条纹的光强相加的结果，干涉条纹图像将趋于模糊，条纹的清晰度下降。假设扩展光源各处发出的光强相同、波长皆为。当增大导致零级亮纹的亮暗将完全不可分辨，则此时光源的宽度
3.在天文观测中，可用上述干涉原理来测量星体的微小角直径。遥远星体上每一点发出的光到达地球处都可视为平行光，从星体相对的两边缘点发来的两组平行光之间的夹角就是星体的角直径。遥远星体的角直径很小，为测量如些微小的角直径，迈克尔逊设计了测量干涉仪，其装置简化为图2所示。M1、M2、M3、M4是四个平面反射镜，它们两两平行，对称放置，与入射光（a、 a′）方向成45°角。S1和S2是一对小孔，它们之间的距离是d。M1和M2可以同步对称调节来改变其中心间的距离h。双孔屏到观察屏之间的距离是D。a、 a′和b、 b′分别是从星体上相对着的两边缘点发来的平行光束。设光线a、 a′垂直双孔屏和像屏，星光的波长是，试导出星体上角直径的计算式。
注：将星体作圆形扩展光源处理时，研究扩展光源的线度对于干涉条纹图像清晰度的影响会遇到数学困难，为简化讨论，本题拟将扩展光源作宽度为的矩形光源处理。

图2
解析：
1．求经双缝产生的干涉图像的零级亮纹的位置
设点的坐标为，它也就是光源与S分别对应的干涉条纹的零级亮纹之间的距离，即

D
S1
S2
H

z
y
图1
G
l

S

d
O

由双缝到点的光程差，从作的垂线交于H点，三角形与三角形相似，因， 则
（附1）
从作的垂线交于G，到双缝的光程差
（附2）
三角形与三角形相似，因，则
（附3）
对满足零光程差条件的而言，

得
（附4）
2．在线光源情况下，可以导出双缝干涉的相邻两亮纹的间距为
（附5）
值不同对应着扩展光源中不同位置的线光源．不难证明，它们经双缝产生干涉条纹的间距均如（5）式所示．宽度为w的扩展光源是由一系列值不同的、连续分布的、相互独立的线光源构成．因此扩展光源在观察屏上产生的干涉图像的强度是由每个线光源产生干涉条纹的强度相加而成．当扩展光源宽度为w时，对于光源最边缘点有
（附6）
代入（4）式
（附7）
若
（附8）
则相当于扩展光源最边缘的线光源产生的干涉条纹错开了一个条纹间距．由于扩展光源各部分产生的干涉条纹的光强分布都相同，各套干涉条纹强度相加的结果使屏上各处光强相等，变得一片模糊而无法分辨．由（5）式和（7）式，求得为使条纹能被分辨，扩展光源允许的最大宽度
（附9）
3．
解法一：
M1

S1
S2
h
H
d

a
b一

P

图2
观察屏
双孔屏
如图2所示，是由扩展光源上端边缘发出的平行光，是由扩展光源下端边缘发出的平行光．设光线交于点，光线交于点．光束中的光线经过到达观察屏上P点；光线经过到达观察屏上P点，两相干光波产生干涉，在观察屏上产生一套干涉条纹．同理，平行光束在观察屏上产生另一套干涉条纹．从扩展光源不同部位发出的、倾角在0和之间不同角度入射的平行光束，经迈克尔逊测星仪相应的反射镜走过不同路径到双孔，然后在观察屏上产生很多套干涉条纹．这些干涉条纹光强度彼此相加，屏幕上就形成了光强度的分布图像．根据第2问的结果，其清晰度取决于来自扩展光源上下边缘发出的平行光与分别在屏幕上产生两套干涉条纹的相对位置错开的程度．
由对称性考虑，平行光束中两条光线和在观察屏上的光程差为0，即平行光产生的那套干涉条纹的零级亮纹就在处．现讨论以倾角斜入射的平行光束通过整个光学装置后，在观察屏上某点发生干涉时的光程差．光束中的光线入射M1的光线经M3反射到达，光线从点算起，所经光程为；光线入射M2的光线经M4反射到达，光线从点算起，所经光程为．
由对称性，得
（1）
也就是说从M1和M2算起，光线和到达与的光程是相等的，但是光线和在到达M1和M2时，二者的相位却不同．由作斜入射光线的垂线交点，与相位相等，因此，斜入射的两条平行光线和到达S1 和S2时的相位差是光程差引起的光程差：
（2）
从扩展光源下边缘发出的平行光束斜入射到测星干涉仪，经双孔后发出的相干光在观察屏上坐标为y（坐标原点取在上）的P点上引起的光程差：
（3）
其零级亮纹所在位置对应的光程差，故的坐标：
（4）
这也就是平行光与产生的干涉条纹的零级亮纹（也是两套条纹）错开的距离：
（5）
因在线光源情况下，可以导出双孔干涉的相邻两亮纹的间距为：
（6）
当二者错开一个条纹间隔时，即，代入（6）式（星光波长采用），得
（7）
远处的星体作为扩展光源发出的光经过“测星仪”到达双孔，在屏上观察到干涉条纹的清晰度下降，由小到大调节M1、M2距离h，当屏幕上条纹消失时，记下此时h的值代入（7）式就可确定扩展光源角直径的大小．
注：实际星体都看作均匀亮度的圆形扩展光源，通过调节h使屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等时，通过数学计算，用迈克尔逊测星仪测量得的星体角直径．
解法二：
如图3所示，对M1、M3而言，找出对的中间像和对所成的像以及光线a在M1、M3的反射点F和G．由物像的对称性可知，，故

即从光线a上一点到和到的光程相等．同理可证，从光线b上一点到和到的光程相等；对M2、M4（未画出）而言，从光线上一点到和到的光程相等；从光线上一点到和到的光程相等．
a
b

G
F

图3
图4
M3
h

M1

因此，光线a 到处与光线到处引起的光程差与没有反射镜M1、M2时两光线到、处的光程相等．因a、垂直双孔屏，故
（1）
通过双孔、后，光线a、在的光程差：
（2）
平行光束b斜入射时，可从、处求b、两光线到达、处的光程差．由作的垂线（见图4）。
（3）
说明光线超前于光线b．
图5

d
a
b

通过双孔、后光线b、射出的相干光线在屏幕上形成的零级亮纹不可能位于处，因为二者到达双孔前光线已超前了光线b，如图5所示，光线经过孔后要多走一段光程来抵消前面的相位差，以达到与光线b在没有光程差的情况下相交于远方屏幕上，形成干涉零级亮纹．该点所对应的经过孔后多走的光程：
（4）
从可求得平行光束经双孔后在观察屏上的干涉零级条纹位置．由（3）式和（4）式，得
（5）
的位置坐标：
（6）
由小到大调节反射镜M1、M2之间的距离（也就是、之间的距离）h，直到屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等时，记下此时h的值.这时相干光在屏幕上零级亮纹位置与的距离：
（7）
当等于条纹间隔，即
（8）
代入（7）式得
（9）
由（5）、（9）两式，得
（10）
解法三：
根据第2问的结果，为使条纹能被分辨，扩展光源的允许宽度为，从而扩展光源对双缝中心的张角为：
（1）
如图3所示，对M1、M3而言，找出对的中间像和对所成的像以及光线a在M1、M3的反射点F和G．由物像的对称性可知，，故

即从光线a上一点到和到的光程相等．同理可证，从光线b上一点到和到的光程相等；对M2、M4（未画出）而言，从光线上一点到和到的光程相等；从光线上一点到和到的光程相等．从分析可知，为经M3、M1反射的等效像点，为经M4、M2反射的等效像点，从而可将测星干涉看作是经双孔、的等效杨氏双缝干涉，其缝距为：
（2）
由小到大调节反射镜M1、M2之间的距离（也就是、之间的距离）h，直到屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等，这时只需将测得的h直接替换（1）式中的d，可得计算星体角直径的公式：
（3）
得到与前两种解法相同的结果．

20