【全程复习方略】(湖南专用)2014版高中数学-5.1不等式和绝对值不等式课时提能训练-理-新人教A版.doc

【全程复习方略】（湖南专用）2014版高中数学 5.1不等式和绝对值不等式课时提能训练 理 新人教A版
1.不等式≥1的解集为_________.
2.设角α、β满足-<α<β<,则α-β的范围是________．
3.有以下四个条件：
①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0.
其中能使成立的条件有___________.(填序号)
4.函数y=3x2+的最小值是_______.
5.函数y=x2(1-5x)(0≤x≤)的最大值为_________.
6.设x,y为正实数,且满足x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是_________.
7.已知x≥,则f(x)=的最小值为__________.
8.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是_________.
9.对于x∈(0,),不等式≥16恒成立，则正数p的取值范围为________.
10.设x、y、z>0,且x+3y+4z=6,则x2y3z的最大值为____________.
11.若实数x,y满足xy>0,且x2y=2,则xy+x2的最小值为________.
12.函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为__________.
13.不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为________.
14.(2011·江西高考)对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为_______________.
15.对任意实数x,若不等式|x+1|-|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是_______.
16.若不等式|x+|>|a-5|+1对一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是
_____________.
17.若不等式|x-a|+|x-2|≥1对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是________.
18.不等式＞a的解集为M,且2M，则a的取值范围为________.
19.已知x,y,z均为正数，=1,则的最小值是_________.
20.已知a>0,若不等式|x-4|+|x+3|≤a在实数集R上的解集不是空集，则a的取值范围是___________.
21.已知f(x)=2|x+1|-|x-3|,则f(x)≥4的解集为___________.
22.若存在实数x满足不等式|x-4|+|x-3|<a,则实数a的取值范围为_______.
23.(2012·长沙模拟)对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立，则实数x的取值范围为__________.
24.若不等式|ax+2|<6的解集为(-1，2)，则实数a等于__________.
25.定义运算x⊙y=，若|m-1|⊙m=|m-1|，则m的取值范围是_______.
26.已知α、β是实数，给出下列四个论断：
①|α+β|=|α|+|β|;②|α-β|≤|α+β|;③|α|>,|β|>;
④|α+β|>5.
以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________.
27.(2012·邵阳模拟)已知a,b为正数，且直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直，则2a+3b的最小值为________.
28.若关于x的不等式|x+1|+k<x有解，则实数k的取值范围是_________.
29.设函数f(x)=|2x-4|+1,若不等式f(x)≤ax的解集非空，则a的取值范围是
__________.
30.某地街道呈现东—西、南—北向的方格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(-2，2)，(3，1)，(3，4)，(-2，3)，(4，5)，(6，6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.

答案解析
1.【解析】∵≥1,∴|x+1|≥|x+2|(x≠-2).
∴x2+2x+1≥x2+4x+4,(x≠-2)
∴2x+3≤0且x≠-2,
∴x≤且x≠-2.
答案：{x|x≤且x≠-2}
2.【解题指南】利用不等式的同向可加性求解，但应注意隐含条件α<β.
【解析】∵-<α<β<,∴-<-β<-α<,
∴-π<α-β<β-α<π,且α-β<0，
∴-π<α-β<0.
答案:(-π,0)
3.【解析】①∵b>0,∴>0,∵a<0,∴<0,∴<;②∵b<a<0,∴>;
③∵a>0>b,∴>0, <0,∴>;④∵a>b>0,∴<.
故①②④均能使<成立.
答案：①②④
4.【解析】y=3x2+=3(x2+1)+-3≥-3，当且仅当3(x2+1)=,即x2=-1时等号成立.
答案：6-3
5.【解析】y=x2(-2x)=x·x(-2x)
∵0≤x≤,∴-2x≥0.
∴y≤.
当且仅当x=x=-2x,即x=时取等号.
答案：
6.【解析】∵x,y为正实数,∴.
∴=10,∴xy≤100.
∴lgx+lgy=lg(xy)≤lg100=2.当且仅当x=4y,即x=20,y=5时取等号.
答案：2
7.【解析】∵x≥,∴x-2≥.
∴f(x)=,
当且仅当,
即x=3时，等号成立，∴f(x)min=1.
答案：1
8.【解析】∵ab=a+b+3,a,b为正数，
∴ab≥+3,
∴()2-2-3≥0,
∴(-3)( +1)≥0，
∴≥3,即ab≥9，
∴ab的取值范围是［9，+∞).
答案：［9，+∞)
9.【解题指南】可令t=sin2x,则cos2x=1-t,将不等式转化为关于t的不等式求解，注意0<t<1.
【解析】令t=sin2x,则cos2x=1-t.
又x∈(0,),∴t∈(0,1)
不等式≥16可化为p≥(16-)(1-t),而y=(16-)(1-t)=17-(+16t)≤17-=9，
当且仅当=16t,即t=时取等号.
∴原不等式恒成立，只需p≥9.
答案：［9，+∞)
10.【解析】∵6=x+3y+4z=+y+y+y+4z≥,即x2y3z≤1,当且仅当=y=4z时取等号.
∴x2y3z的最大值为1.
答案：1
11.【解析】由已知可得x＞0,y＞0,xy+x2=xy+xy+x2≥==3，当且仅当xy=x2,即x=1,y=2时取等号.
答案：3
12.【解析】y=|x-4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2.
答案：2
13.【解析】当x≤-2时，原不等式可以化为-(x-1)-(x+2)≥5,解得x≤-3，
∴x≤-3.
当-2＜x＜1时，原不等式可以化为-(x-1)+(x+2)≥5,即3≥5,矛盾.
当x≥1时，原不等式可以化为(x-1)+(x+2)≥5,
解得x≥2,∴x≥2.综上所述，原不等式的解集是
{x|x≤-3或x≥2}.
答案：{x|x≤-3或x≥2}
14.【解题指南】x-2y+1=(x-1)-2(y-2)-2,然后利用绝对值不等式的性质求解.
【解析】根据条件有：|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-2)-2|≤|x-1|+|2(y-2)|+2
∵|x-1|≤1,|y-2|≤1,∴|x-2y+1|≤1+2×1+2=5.
答案：5
15.【解析】|x+1|-|x-2|的几何意义是数轴上的点x到-1的距离与到2的距离所得的差，结合数轴可知该差的最小值为-3，要使不等式|x+1|-|x-2|>k恒成立，只需k<-3即可.
答案：(-∞,-3)
16.【解析】∵|x+|=|x|+≥=2，
故应有|a-5|+1<2,即|a-5|<1，∴4<a<6.
答案：(4，6)
17.【解析】由|x-a|+|x-2|≥|(x-a)-(x-2)|=|a-2|知，|a-2|≥1,∴a≤1或a≥3.
答案：(-∞,1］∪［3,+∞)
18.【解析】由已知2M，可得2∈M,于是有||≤a,即-a≤≤a,解得a≥.
答案：[,+∞)
19.【解析】因为x,y,z为正数，
所以,
同理可得,
当且仅当x=y=z时以上三式等号都成立.
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2.
得=1.
答案：1
20.【解析】∵|x-4|+|x+3|≥|x-4-3-x|=7,
∴|x-4|+|x+3|的最小值为7,
又不等式|x-4|+|x+3|≤a的解集不是空集，
∴a≥7.
答案：[7,+∞)
21.【解析】由已知可得|x+1|-|x-3|≥2,
①当x<-1时，x+1<0,x-3<0,
∴-(x+1)+(x-3)≥2,
∴-4≥2⇒x∈Ø;
②当-1≤x<3时，
∴(x+1)+(x-3)≥2⇒2x≥4⇒x≥2,
∴{x|2≤x<3};
③当x≥3时，
(x+1)-(x-3)≥2⇒4≥2⇒x∈R,
∴{x|x≥3}.
综上，原不等式的解集为{x|x≥2}.
答案：{x|x≥2}
22.【解析】方法一：令y=|x-4|+|x-3|,
则有y=,
可得ymin=1,又因为原不等式有实数解，所以a的取值范围是(1，+∞).
方法二：|x-4|+|x-3|的几何意义是x在数轴上的对应点P到3、4对应的点A、B的距离之和|PA|+|PB|，通过讨论x>4,3<x≤4,x≤3三种情况的点P位置，
可得|PA|+|PB|的最小值为1，
又因为原不等式有实数解，所以a的取值范围是(1，+∞).
方法三：∵|x-4|+|x-3|≥|(x-4)-(x-3)|=1，
∴y=|x-4|+|x-3|的最小值为1.
又因为原不等式有实数解，所以a的取值范围是(1，+∞).
答案：(1，+∞)
23.【解析】原不等式等价于≥|x-1|+|x-2|,设=t,则原不等式变为|t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|对任意t恒成立.
因为|t+1|+|2t-1|=，
最小值在t=时取到，为.
所以有≥|x-1|+|x-2|=
解得x∈［］.
答案：［］
24.【解题指南】|ax+2|<6⇒-6<ax+2<6,注意对a的符号进行分类讨论.
【解析】由|ax+2|<6可知，-8<ax<4.
当a>0时，<x<,
又∵不等式|ax+2|<6的解集为(-1，2)，
∴,∴矛盾.
故a不可能大于0.
当a=0时，则x∈R不符合题意.
当a<0时，<x<,
∴,∴a=-4.
答案：-4
25.【解析】依题意，有|m-1|≤m⇒-m≤m-1≤m⇒m≥.
答案：［，+∞)
26.【解析】①③成立时，|α+β|=|α|+|β|>4>5,
∴④成立.又由①，知αβ>0,∴|α-β|≤|α+β|成立，
即②成立，同理②③⇒①④.
答案：①③⇒②④或②③⇒①④(写一个即可)
27.【解析】依题意得2b-a(b-3)=0,即=1,2a+3b=(2a+3b)()=
13+6()≥13+6×=25,当且仅当,即a=b=5时取等号，因此2a+3b的最小值是25.
答案：25
28.【解析】∵|x+1|+k<x,
∴k<x-|x+1|.
若不等式有解则需k<(x-|x+1|)max.
设f(x)=x-|x+1|,
则f(x)=
由解析式可以得出f(x)max=-1,
∴k<-1.
答案：(-∞,-1)
29.【解析】由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知，(l1,l2,l3,l4都代表y=ax的图象)，l1与y=f(x)相交于点A，由l1转到l2时有交点，∴a≥.

同理当l1转到l3时也有交点，当转到l4时，此时l4与y=-2x+5平行无交点，
∴a＜-2.
故不等式f(x)≤ax的解集非空时，a的取值范围为(-∞,-2)∪[,+∞).
答案：(-∞,-2)∪[,+∞)
30.【解析】设格点为(x,y)，则格点到各零售点的距离之和为d=|x+2|+
|x-3|+|x-3|+|x+2|+|x-4|+|x-6|+|y-2|+|y-1|+|y-4|+|y-3|+|y-5|+|y-6|.
记d1=|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|.
d2=|x+2|+|x-3|+|x-3|+|x+2|+|x-4|+|x-6|.
∵|y-1|+|y-6|≥5，当且仅当1≤y≤6时等号成立；
|y-2|+|y-5|≥3,当且仅当2≤y≤5时等号成立，
|y-3|+|y-4|≥1，当且仅当3≤y≤4时等号成立.
故当y＝3或y=4时等号成立.
此时d1有最小值.
同理可证当x=3时，d2有最小值.
∴由题意得(x,y)只能取(3,3)才能使路程和最短.
答案：(3，3)

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