第12讲二次函数.doc

第12讲　二次函数
主备人： 张映珠 审核人： 叶昌顺
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知识清单梳理
　二次函数的图象性质
1．一般地，形如y＝__________(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．
2．二次函数的图象和性质

二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c是常数，a≠0)
a＞0
a＜0
图象

开口
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标
(－，)
(－，)
增减性
当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大
当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y有最小值
当x＝－时，y有最大值

　二次函数图象的平移、表达形式

1．一般式：__y＝ax2＋bx＋c__(a，b，c是常数，a≠0)．
2．交点式：__y＝a(x－x1)(x－x2)__(a，x1，x2是常数，a≠0)．
3．顶点式：__y＝a(x－m)2＋k__(a，m，k是常数，a≠0)．
　二次函数与一元二次方程之间的关系
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，令y＝0，即为ax2＋bx＋c＝0，也就完全转化为一元二次方程的问题．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点分下列三种情况：
1．__b2－4ac＞0__⇔抛物线与x轴有两个交点(，0)．
2．__b2－4ac＝0__⇔抛物线与x轴只有一个交点.
3．__b2－4ac＜0__⇔抛物线与x轴没有交点．　　　　　　　　　　　
　二次函数的图象性质
【例1】1、抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________．
2、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　)
A．a＞0 B．3是方程ax2＋bx＋c的一个根
C．a＋b＋c＝0 D．当x＜1时，y随x的增大而减小
　二次函数的解析式
【例2】1、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋4与坐标轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c，求抛物线的解析式．

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x＝.

求抛物线的解析式．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B(0，－2)，A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y＝ax2＋c与x轴交于C，D两点，且CD＝4.求抛物线的解析式．

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2ax＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C(0，3)，tan∠OAC＝.求抛物线的解析式．

　二次函数的应用
【例3】已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c图象的顶点坐标为(3，8)，该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点．
(1)不等式b＋2c＋8≥0是否成立？请说明理由；
(2)设S是△AMO的面积，求满足S＝9的所有点M的坐标．
1.遗漏考点
　二次函数的增减性问题
【例1】(2017连云港中考)已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是(　　　)
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
　直线与抛物线的交点问题
【例2】已知抛物线C1的顶点为A(－1，4)，与y轴的
交点为D(0，3)．
(1)求C1的解析式；
(2)若直线l1：y＝x＋m与c1仅有唯一的交点，求m的值．

2．创新题
【例3】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y＝bx＋ac的图象可能是(　　　)

A B C D

【提升训练】
1．(2017哈尔滨中考)抛物线y＝－－3的顶点坐标是(　　)
A. B. C. D.
2．（2016镇江）10．a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b______c（用“＞”或“＜”号填空）
3．(2017安顺中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，给出
下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；
④m(am＋b)＋b＜a(m≠1)，其中结论正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．(2017镇江)若二次函数的图象与x轴只有一个公共
点，则实数n= ．
5．(2017威海中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，
则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象是(　　)

A B C D

6．(2017天水中考)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4 cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以 cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1 cm/s的速度沿BA－AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y(cm2)，运动时间为x(s)，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是(　　)

A B C D
7．(2017上海中考节选)已知在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(2，2)，对称轴是直线x＝1，顶点为B.求这条抛物线的解析式和点B的坐标．

8、（2017镇江）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．
（1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于 ；
（2）点E是二次函数（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；
（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．

完成时间

月 日
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教师评价

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