人教版高中数学《抛物线的焦点弦及其性质》课例实录.doc

在运动变化中寻找定量规律
———抛物线的焦点弦及其性质的课例实录

在学习了抛物线的简单几何性质后，笔者发现学生在处理运动变化的问题时常常心存畏惧，不敢下手。临渊羡鱼，不如退而结网，基于此点，笔者专门设计了这节课，希望他们在解决问题的过程中，能够加强信心，以致信手拈来，轻松上阵。笔者从教材中的一道例题入手开始：
一、从课本例题中展开

教师：本题是课本中的一个例题，这里，是怎么来解决问题的？
学生1：用抛物线的定义，结合图形来处理的。
教师：在一定的条件下，可以利用图形来求解过焦点的弦长问题。那么，如果题目中的条件稍作变化，如：y2=8x, 怎么办？
学生2：可以，复制一下上题的解题思路即可。
教师：那么，题目中的数字如为参数，即：
变题：斜率为k的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段的长。
请大家求解，看看结果如何！
通过简短的运算，学生们很快计算出来
教师：有谁能归纳一下上面这一类题的共性？
学生3：都是求弦长，都可以通过来求解。
教师：当抛物线的标准方程发生变化的时候，弦长也在发生相应的变化，这是一种相对变化。但弦长又是相对确定的，可以用来给出。
二、乘胜追击
教师：我们从课本中的例题出发，发现了一个很有用的式子，这个式子对往后的解题很有指导意义。现在请大家再接再厉，继续发掘。
变式：弦AB所在直线的倾斜角为，则弦长可以用倾斜角来表示吗？
学生纷纷表示可以一试。
F
B
A
o
y
x

评论：1、本题若设直线的斜率k为参数，那么就要讨论斜率不存在时的情形，否则就会导致解法不完善，而以倾斜角为参数，就不必讨论时的情形。
2、本题的结论是。当直线的倾斜角变化的时候，焦点弦长相应变化，但在运动变化当中，结论是不变的，结果是确定的。
教师：这种规律不仅在本题中有，在教材P119的习题8.5中也出现了。

简单证明如下：

教师启发：从上可得纵坐标的乘积的一个定值，大家能不能作个推广？
学生4：由（*）可知，。
教师：通过以上的学习，可以看到某些过抛物线焦点的直线问题，虽然相应的条件并不确定，如斜率K，焦参数P，但最终所得的结论的相对确定，有规律的，亦即在运动变化中蕴藏着恒定的结论，将貌似复杂的问题归于简单。掌握这一点，将使我们获益非浅。
三、引申性质
请大家再来挖掘开垦，在焦点弦长中还有什么是不变的，有定论的，也可以结合以前的习题在寻找。
通过师生共同努力，最后归纳得到以下一些规律：
1、 以AB为直径的圆和抛物线的准线相切；
2、 焦点F对A、B在准线上射影的张角为90O
3、
4、
5、 等
教师：以上几个性质请大家任取三条证明一下，在证明过程中来感受数学的复杂与简单，不定与定。在运动中去寻找定量规律，使得问题回归到本原的状态。
四、异曲同工，夯实巩固