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三角高考数学题的常规解题途径

由于三角问题公式繁、题型杂、技巧多，学生在做这类题时，往往盲目探索，超时失分现象较为严重。若将各种题型技巧全部强化训练，又会陷入题海。如何解决这一矛盾？笔者认为：三角高考题都有比较明确的解题方向，只要在复习中让学生从整体上加以把握，掌握其常规的解题途径，就能获得事半功倍的效果。
途径1：化成“三个一”
“三个一”是指一个角的一种三角函数一次方的形式。这种方法的解题步骤是：运用三角公式，把所求函数变换成“三个一”的形式，即等形式，再根据已知条件及其性质深入求解。一般求三角函数的性质问题，如对称性、单调性、周期性、最值、值域、作图象等问题均可用此法。这类题在高考中每年都作重点考查。
例1. （2004年全国）求的最小正周期、最大值和最小值。
分析：本题属于求三角函数性质问题，故使用途径1。
简解：

所以
评注：由于解题思路方向明确，避免了盲目探索，使解题过程简明流畅。
途径2：化成“两个一”
若某些问题化不成“三个一”，也可只化成一个角一种三角函数n次方的形式，或一个角的两种三角函数一次方的形式，即只能达到“两个一”的要求。此时可通过配方、求导、解方程、设辅助角等手段进一步求解。
例2. （2004年广东）当时，函数的最值为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
分析1：本题为求最值问题，则考虑用途径1，根据函数的齐次特征，化成，却无法变成一次方形式，则走途径2。
，选（D）。
分析2：本题若用降幂公式变形为，也只能实现“两个一”。此时可将函数进一步变形为，利用辅助角，得函数
，变成了“三个一”的形式。再利用其有界性，求得。
途径3：边角转换
若已知三角形的某些边或角的关系，而求另一些边或角或判断三角形形状时，可运用正（余）弦定理或面积公式，把边都化为角，或把角都化为边，然后通过解方程求之。
例3. 在中，分别为角A、B、C的对边，且，（1）求角B；（2）若，求a的值。
简解1（边化角）：

简解2（角化边）：

（2）因为，
所以，
得或3
评注：有些学生把条件变形为后，便思路受阻，显示他们对三角题的常规解法不熟。
途径4：三角变换
三角变换就是运用各种三角公式（倍、半、和差、诱、万能等），通过切弦互化、变角、变名、变次等技巧，将一个三角式恒等变形为另一种形式的方法。
例4. （2002年全国）已知，求的值。
分析：本题是由角的余弦求角的余弦，故用角变换。因为，而的正、余弦值可用二倍角公式求出，则本题获解。
简解：

因为，
所以
故

评注：本题解法很多，每种方法都要经历复杂的三角变换，以及讨论角的范围。
途径5：等价转化
有些问题无法直接选用前4种途径，而需先转化后选用。即先将各已知条件转化为三角形式，然后从前4种途径中择一求解。这类高考题处于知识网络的交汇点上，易发挥考查数学能力的功效，故必是高考常见的命题形式，需重点留意。
例5. （2004年广东）已知成公比为2的等比数列（），且也成等比数列，求的值。
分析：本题处于三角与数列的交汇点上，数列起过渡作用，重心在三角上。用途径5，先把角成等比转化为，代入后，再选用途径4求解。
简解：
因为
所以
所以
即
所以。以下从略。