高中数学人教A版必修5导学案：2.4-第2课时-等比数列(二).docx

【自学目标】
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解等比数列的判断方法．

1．等比数列的第二通项公式
等比数列的通项公式为：an＝ (q≠0)，推广形式为：an＝ (n，m∈N*，q≠0)．
2．等比数列的性质
(1)如果m＋n＝k＋l，则有 ；
(2)如果m＋n＝2k时，am·an＝ ；
(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列；
(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；
(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|；
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝ ＝ ＝….

[情境导学]
在等差数列{an}中，通项公式可推广为am＝an＋(m－n)d，并且若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.那么，在等比数列中又有哪些类似的性质？这就是本节研究的主要内容．
探究点一　等比数列的判断方法
思考1　判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些？

思考2　如何判断或证明一个数列不是等比数列．

例1　已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证：{an·bn}，{can}(c为非零常数)是等比数列．

跟踪训练1　若数列{an}为等比数列，公比为q，且an>0，bn＝lg an，试问数列{bn}是什么数列？并证明你的结论．

探究点二　等比数列的性质
思考1　类比等差数列通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？

思考2　在等比数列{an}中，a＝a1a9是否成立？a＝a3a7是否成立？a＝an－2an＋2(n>2)是否成立？

思考3　由思考2你能得到等比数列更一般的结论吗？该结论如何证明？

思考4　在等比数列{an}中，若m＋n＝2k，如何证明am·an＝a(m，n，k∈N*)?

思考5　公比q>0且q≠1时，等比数列呈现怎样的特点？

例2　已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．

跟踪训练2　在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________.

例3　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

跟踪训练3　有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．

1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．8
2．在等比数列{an}中，an>0，且a1·a10＝27，log3a2＋log3a9等于(　　)
A．9 B．6 C．3 D．2
3．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
4．已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是否是等比数列？

[呈重点、现规律]
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q(与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N*)．
2．如果证明数列不是等比数列，可以通过找一组三个连续项不成等比数列来证明．
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．

一、基础过关
1．在等比数列{an}中，a8＝4，则a2·a14等于(　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为(　　)
A．100 B．－100
C．10 000 D．－10 000
3．在正项等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于(　　)
A. B. C. D.
4．等比数列{an}的各项为正数，且a5·a6＋a4·a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3 a10等于(　　)
A．12 B．10 C．8 D．2＋log3 5
5．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
6．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
7．已知数列{an}成等比数列．
(1)若a2＝4，a5＝－，求数列{an}的通项公式；
(2)若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

二、能力提升
8．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于(　　)
A．5 B．7
C．6 D．4
9．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于(　　)
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
10．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
11．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．

12．已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．
(1)求通项公式an及Sn；
(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式．

三、探究与拓展
13．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数．

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