高中数学选修2-2公开课教案1.1.3导数的几何意义.doc

(完整版)高中数学选修2-2公开课教案1.1.3导数的几何意义
§1。1.3导数的几何意义

教学目标
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题;
教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；
教学难点：导数的几何意义．
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率
（二）瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x）在x=x0附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢?
二．新课讲授
（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1—2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么?
图3.1-2

我们发现，当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
问题：⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？
⑵切线PT的斜率为多少？
容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时,无限趋近于切线PT的斜率,即
说明:(1)设切线的倾斜角为α，那么当Δx→0时，割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
这个概念： ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；
②切线斜率的本质—函数在处的导数。
（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关；2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解。如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线；3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个,甚至可以无穷多个。
(二)导数的几何意义:
函数y=f（x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，
即
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标；
②求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程.
（二）导函数：
由函数f（x）在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数。记作:或，
即:
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数在点处的导数、导函数、导数 之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数
3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是 求函数在点处的导数的方法之一.
三．典例分析
例1：（1)求曲线y=f（x)=x2+1在点P（1,2）处的切线方程。
（2）求函数y=3x2在点处的导数.
解：（1），
所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为即
（2）因为
所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即
（2）求函数f（x）=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：

例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
,根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．
解:我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．
（1） 当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
（2） 当时,曲线在处的切线的斜率，所以,在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
（3） 当时，曲线在处的切线的斜率,所以,在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
从图3。1—3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．
例3．（课本例3）如图3.1—4，它表示人体血管中药物浓度(单位：)随时间（单位：）变化的图象．根据图像，估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到）．
解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看,它表示曲线在此点处的切线的斜率．
如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作处的切线，并在切线上去两点，如，，则它的斜率为:
所以
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

0。2
0。4
0。6
0。8
药物浓度瞬时变化率
0.4
0
-0.7
-1.4
四．课堂练习
1．求曲线y=f（x）=x3在点处的切线;
2．求曲线在点处的切线．
五．回顾总结
1．曲线的切线及切线的斜率；
2．导数的几何意义
六．布置作业
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