思科数学第7讲函数的图象.doc

第7讲　函数的图象

基础梳理
1．常见函数的图象
常见函数的图象：一次函数、二次函数、正比例函数，反比例函数、指数函数、对数函数．

2．图象的变换
(1)平移变换
①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．
②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．
(2)对称变换
①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．
②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．
③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．
④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．
(3)翻折变换
①作为y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象；
②作为y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．
(4)伸缩变换
①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)缩(a＜1时)到原来的a倍．
②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)缩(a＞1时)到原来的.

一条规律
对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减．但要注意加、减指的是自变量，否则不成立．
画函数图象的方法有：
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出；
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响；
(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
双基自测
1．在直角坐标系中，画出函数y＝|x－1|的图象．
答案　

2．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点向________平移3个单位长度，再向________平移________个长度单位．
答案　左　下　1
3．已知函数y＝log2x与y＝kx的图象有公共点A，且点A的横坐标为，则k＝________.
答案　－2
4．当x∈[n，n＋1)，(n∈N)时，f(x)＝n－2则方程f(x)＝log2x根的个数为________．
解析　当n＝0时，x∈[0,1)，f(x)＝－2，此时x＝
当n＝4时，x∈[4,5)，f(x)＝2，此时x＝4，故共2个．
答案　2
5．函数y＝的图象关于________对称．
解析　y＝＝3－，∵y＝－关于点(0,0)对称．
∴y＝3－关于点(－2,3)对称．
答案　点(－2,3)　　

考向一　作函数的图象
【例1】►分别画出下列函数的图象．
(1)y＝|x2－4x＋3|；
(2)y＝；
(3)y＝10|lg x|.
[审题视点] 先化简函数的解析式，再利用基本初等函数的图象通过图象变换画出．
解　(1)先画函数y＝x2－4x＋3的图象，再将其x轴下方的图象翻折到x轴上方，如图(1)．

(2)y＝＝＝2－，
可由函数y＝－向左平移1个单位，再向上平移2个单位，如图(2)．
(3)y＝10|lg x|＝如图(3)．
(1)熟知一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图象，再掌握图象变换的规律作图．
(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
【训练1】 分别画出下列函数的图象．
(1)y＝x2－4|x|＋3；
(2)y＝|log2(x＋1)|.
解　(1)y＝x2－4|x|＋3＝如图(1)．

(2)先将y＝log2x向左平移1个长度单位，再利用翻折变换可得函数图象，如图(2)．
考向二　函数图象的变换问题
【例2】►说明由函数y＝2x的图象经过怎样的图象变换能得到函数y＝2－x－3＋1的图象．
[审题视点] 解答本题可以从两种方法出发
(1)先平移，再作对称变换．
(2)先对称变换再进行平移变换．
解　法一　(1)将函数y＝2x的图象向右平移3个单位，得到函数y＝2x－3的图象；
(2)作出函数y＝2x－3的图象关于y轴对称的图象，得到函数y＝2－x－3的图象；
(3)把函数y＝2－x－3的图象向上平移1个单位，得到函数y＝2－x－3＋1的图象．
法二　(1)作出函数y＝2x的图象关于y轴的对称图象，得到y＝2－x的图象；
(2)把函数y＝2－x的图象向左平移3个单位，得到y＝2－x－3的图象；
(3)把函数y＝2－x－3的图象向上平移1个单位，得到函数y＝2－x－3＋1的图象．
变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称、翻折等变换，作用相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及性质，准确把握基本函数的图象特征．
【训练2】 定义：若函数 f(x)的图象经过变换T后所得的图象对应的函数与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：
①f(x)＝(x－1)2，T：将函数f(x)的图象关于y轴对称；
②f(x)＝2x－1－1，T：将函数f(x)的图象关于x轴对称；
③f(x)＝，T：将函数f(x)的图象关于点(－1,1)对称．
其中T是f(x)的同值变换的有________(写出所有符合题意的序号)．
答案　①③考向三　函数图象的应用
【例3】►直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
[审题视点] 分别画出y＝1与y＝x2－|x|＋a的图象，观察有四个交点的条件．
解析　如图，在同一直角坐标系内画出直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a，观察图象可知，a的取值必须满足解得1＜a＜.

答案　
(1)有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
(2)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
【训练3】 若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是________．
解析　当a＞1时，y＝2a＞2，函数y＝|ax－1|的图象如图(1)，

此时直线y＝2a与函数y＝|ax－1|的图象只有一个交点．
当0＜a＜1时，y＝2a＜2；
函数y＝|ax－1|的图象如图(2)，
当直线y＝2a与函数y＝|ax－1|的图象有两个公共点，则0＜2a＜1，∴0＜a＜.
答案　0＜a＜