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一类图形折叠问题的解法与思考

“图形的轴对称”是“图形的变化”中的一个重要部分．我们知道，对图形进行“折叠”操作，能得到轴对称图形中的一系列定理和性质，因此，“折叠问题”往往也是中考命题的一个热点，而对于学生来说，这类问题是一个难点，本文通过举例分析，希望能给大家带来一些思考，给学生解题带来一些灵感．
例1观察与发现：小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图1）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图2)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．

分析 在解题过程中，部分学生从本题的结论入手，简单的认为通过两次折叠，AE和AF是可以重合的，直接得到△AEF是等腰三角形；或者在连结DE，DF后（如图3），凭感觉认为△AED≌△AFD，但又找不到可以证明的条件，这两种做法显然是不对的．究其原因，E、F两点是在第二次折叠中产生的，无法判断它们在第一次折叠中是否重合，更无法直接判断出DE与DF，∠EDA与∠FDA的关系．
大部分学生对于第一次折叠的认识是比较清晰的，很明显根据折叠的结果——AC落在AB边上，得到∠BAD＝∠CAD．而对于的第二次折叠，学生会感觉结论非常之多，有的学生在添加了DE，DF两条辅助线后，根据“成轴对称的两个图形全等”得到3对全等的三角形，从而产生很多相等的角和相等的线段，却无从下手．这里给出以下几种解法：
解法一 如图3，证明四边形AEDF是菱形，从而得到AE＝AF．
根据题意，知
∠EAD＝∠EDA，∠EAD＝∠FAD，
可得∠EDA＝∠FAD，
从而证得ED∥AF．
同理可证AE∥FD，
即四边形AEDF是平行四边形，
根据题意可得AE＝DE，
从而证明四边形AEDF是菱形，
得到AE＝AF，即△AEF是等腰三角形．
解法二 如图3，证明∠AEF＝∠AFE，根据“等角对等边”得到AE＝AF．
根据解法一，可证得AE∥FD，
从而得到∠AEF＝LDFE．
根据“折叠”，易知∠AFE＝LDFE，
可得∠AEF＝∠AFE，即△AEF是等腰三角形．
以上两种解法利用了角平分线、平行线和等腰三角形组合而成的一个基本图形，将本题中的这个基本图形提取出来（如图4）．其中，若AB∥FD，FE平分∠AFD，则可证得△AEF是等腰三角形；若FE平分∠AFD，△AEF是等腰三角形，则可证得AB∥FD；若AB∥FD，△AEF是等腰三角形，亦可证得FE平分∠AFD．

除了以上两种思路，我们还有更简洁的解法，即运用轴对称的性质：“成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分”，很容易完成证明．
解法三 如图5，设AD与EF的交点为O，根据“折叠”，可得EF是AD的垂直平分线，即∠AOE＝∠AOF＝90°．
再由AO＝AO，∠EAO＝∠FAO．
可证得△AEO≌△AFO，
得到AE＝AF，即△AEF是等腰三角形．
例2 如图6，将矩形ABCD折叠，使得点A落在CD上的E点，折痕为FG，若AD＝15cm，AB＝12 cm，FC＝13 cm，则DE的长度为_______cm．
分析 学生根据解题经验，首先想到利用AF与EF的相等关系，在Rt△DEF中，运用勾股定理解决问题；同时也注意到AB和FG的数值，很容易联想到5、12、13这组勾股数，自然会想象将AB平移到图7中GM的位置，即作GM⊥AD，得到MF＝5，但这样也难以解决问题．

与例1一样，考虑到点A按要求折叠得到的点E恰好落在了DC上，这就明显提示了点E与点A的对应关系．折痕FG也就是对称轴是A、E连线的垂直平分线；同时，当折叠得到的全等关系无法解决问题时，要尝试利用折叠带来的垂直关系．于是，连结A、E，得到一个新的Rt△ADE，其中线段AD的长度为已知，并且通过AE和GF的垂直关系，易证∠FAO与∠AFO互余；再配合∠MGF与∠MFG的互余关系，从而证得∠MGF＝∠FAO，于是可以得到△MCF∽△DAE；再运用相似图形对应线段成比例的关系求得DE的长度．
例3如图8，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6 cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C'的位置，BC'交AD于点G．
(1)求证：AG＝C'G；
(2)如图9，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．

分析 第(1)问比较简单，从略．
第(2)问中的“再折叠一次”又是先确定了一组对应点后进行的折叠，所得到的EN是AD的垂直平分线是解决这个问题的金钥匙，它有三个重要意义：
一是确定△EMD的的形状，这是一个直角三角形，即确定解题思路，通过解Rt△EMD求EM的长度；
二是得到Rt△EMD中一条直角边DM的长度，DM＝AM＝AD＝4 cm；
三是得到EN与DC的平行关系，配合第一次折叠中DN平分∠EDC，可以确定DEN的的形状，这是一个等腰三角形，从而得到EN与ED的相等关系．
那么，根据题目条件，易得MN＝3 cm．可设EM为xcm，则
ED＝EN＝（x＋3）cm．
根据勾股定理，得x2＋42＝(x＋3)2，
解之，可求得EM＝cm．
由以上几个例题，可以体会到这一类图形折叠问题的解法思路是：对于为了让两个点重合而进行的折叠或在折叠完成后某个点的对应点恰好出现在特殊位置，可以将对应点连结起来，看一看对称轴和对应点连线得到的垂直和线段相等关系能否解决问题；同时，我们必须掌握数学中的核心知识点，这是解决问题的关键．这些知识点在教材中往往和其他更为常见的知识点一起出现．比如，“平行四边形中的对角相等”，“平行四边形中的对边平行，邻角互补”等等，这要求我们在复习的过程中应当十分注重细节，尤其是对于平常使用较少的定理，更要注重解题方法的培养，解题思路的选择、归纳和总结，才能立于不败之地．