第十章机械振动 答案.doc

第十章 机械振动

一. 选择题:

[ D ]. 一劲度系数为k的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m的物体，如图所示。则振动系统的频率为
(A) ． (B) ．
(C) ． (D) ．
提示: 将一根弹簧一分为三,每节的弹性系数变成3k,其中2跟并联,总得弹性系数为6k,这时在弹簧下挂质量为m的物体,其振动频率为答案D

[ C ] 一长为l的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图所示），作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量，此摆作微小振动的周期为
(A) . (B) .
(C) . (D) .
提示：复摆的振动角频率。

[ C ] 一质点作简谐振动，周期为T．当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为
(A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4．
提示：从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上，矢量转过的角位移为，对应的时间为T/6.

[ B ] 当质点以频率n 作简谐振动时，它的动能的变化频率为
(A) 4 n． (B) 2 n ． (C) n． (D) ．
提示：质点作简谐振动时，函数关系式；，动能

x
t
O
A/2
-A
x1
x2
[ B ] 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为
(A) ． (B) ．
(C) ． (D) 0．
提示：使用谐振动的矢量图示法，合振动的初始状态为,初相位为

二 填空题

1. 已知两个简谐振动的振动曲线如图所示．两

简谐振动的最大速率之比为1:1．

提示：最大速率

2、一系统作简谐振动, 周期为T，以余弦函数表达振动时，初相为零．在0≤t≤范围内，系统在t =_ T/8_时刻动能和势能相等．
提示：动能和势能相等，为总能量的一半，此时物体偏离平衡位置的位移应为最大位移的，相位为，因为初始相位为零，t=T/8

3、一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时,其动能是总能量的____3/4______（设平衡位置处势能为零）．当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长Dl，这一振动系统的周期为________．
提示：当物体偏离平衡位置为振幅一半的时，势能为总能量的1/4，动能为总能量的3/4；当物体在平衡位置时，弹簧伸长Dl，

4、在静止的升降机中，长度为l的单摆的振动周期为T0．当升降机以加速度竖直下降时，摆的振动周期．
提示：当升降机以加速度加速下降时，对于单摆，等效加速度为g-a=0.5g;单摆的周期变为:

图13-27

5、两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如图13-27所示．由图可知x方向和y方向两振动的频率之比nx:ny =__4:3____．

提示：从图中看出，x方向运动了4个来回，而y方向运动了3个来回，由此可知，两个方向的频率之比了。

三 计算题
1、一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm，在距平衡位置6 cm处速率是24 cm/s．如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数m为多少？
解：由题意可以得到，（A,A1分别为最大振幅和距离平衡位置6cm时的振幅）
代入数据可以得到：；
在最大位移处，加速度

2、一质点作简谐振动，其振动方程为
(SI)
(1) 当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？(2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？

解：系统的势能为0.5kx2，从题意可知，系统的总能量为：0.5k(6.0╳10-2)2
要求系统的势能为总能量的一半，可以得到：
0.5kx2＝0.5╳0.5k(6.0╳10-2)2

当系统势能为总能量的一半时，，相位角：；
由于角频率为，所以，质点从平衡位置到达上述位置需要的时间为：3/4秒。

3. 有两个同方向的简谐振动，它们的方程(SI单位)如下：

(1) 求它们合成振动的振幅和初位相。 (2) 若另有一振动，问为何值时，的振幅为最大；为何值时，的振幅为最小。

解：（1）合成振动的振幅：
初相位：
(2) 若另有一振动，振幅最大，需要振动的初相位相同，所以，的振幅最小，需要初相位相差1800，这时

4、两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当第一个物体经过位移为的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动．试利用旋转矢量法求它们的相位差．

解：由题意可知，第一个物体经过位移为的位置向平衡位置运动时，在旋转矢量图中，处于第二象限。与x轴正向夹角为450，此时第二物体也经过此位置，但远离平衡位置，在旋转矢量图中处于第四象限。与x轴正向的夹角也是450，如图所示。
这两个状态的相位差为

图13-28

5
t (s)
2
x(cm)
o
-10
10
5、一简谐振动的振动曲线如图13-28所示，求该谐振动的振动周期和初相。

解：由题可知，该振动的振幅为10cm.
T=0时刻，质点位于距离平衡位置A/2且向平衡位置运动，在旋转矢量图上，此时位于第一象限且与x轴正向夹角为,到质点第二次经过平衡位置时，在旋转矢量图中，矢量转过的角度为，经过的时间为2秒，由此可知谐振动的角速度为：
故谐振动周期
初始相位为：

【选做题】
1．一定滑轮的半径为R，转动惯量为J，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示．设弹簧的劲度系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力．现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率．

证明：对质量为m的物体，在偏离平衡位置后有：
T1为右端绳子的拉力；
对于滑轮有 T2为左端绳子的拉力；
为物体在平衡位置处时弹簧的伸长量；且
根据上面几式有：
因为, 有：
令：，有：。这样，这个系统作谐振动。