线性控制系统的运动分析讲解PPT课件.ppt
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1、第二章第二章 线性控制系统的运动分析线性控制系统的运动分析1.线性定常齐次状态方程的解2.矩阵指数函数3.状态转移矩阵4.线性定常非齐次状态方程的解2024/1/31 2024/1/31 周三周三1 1.预备知识预备知识预备知识预备知识 :线性定常系统的运动线性定常系统的运动线性定常系统的运动线性定常系统的运动1 1、自由运动、自由运动:线性定常系统在没有控制作用,即u0时,由初始状态引起的运动称自由运动。齐次状态方程的解齐次状态方程的解:2 2、强迫运动:、强迫运动:线性定常系统在控制u作用下的运动,称为强迫运动。非齐次状态方程的解:非齐次状态方程的解:2024/1/31 2024/1/31
2、 周三周三2 2.第一节第一节 线性定常齐次状态线性定常齐次状态方程的解方程的解2024/1/31 2024/1/31 周三周三3 3.满足初始状态 的解是:一、直接求解:一、直接求解:一、直接求解:一、直接求解:1、标量齐次微分方程:满足初始状态 的解是:满足初始状态 的解是:2、齐次状态方程其中:定义为矩阵指数函数,和A一样也是nn阶方阵 线性定常齐次状态方程的求解方法线性定常齐次状态方程的求解方法:直接求解,拉氏变化求:直接求解,拉氏变化求解解2024/1/31 2024/1/31 周三周三4 4.求解过程求解过程:仿标量方程求解将式(4)代入式(1),即可得到通解为:(5)式(3)左右
3、两边t的同次幂的系数两两相等得:(4)(1)(2)代入状态方程得:(3)设齐次状态方程的解为当 时,由上式可得 此处(1)式(1)左右求导得:(2)标量齐次状态方程2024/1/31 2024/1/31 周三周三5 5.二、拉氏变换求解:二、拉氏变换求解:两边取拉氏变换得:整理得:齐次状态方程:初始状态为:与直接求解的结果(5)比较,由解的唯一性得:仿标量系统得:拉氏反变换得:(6)本节本节小结小结:2024/1/31 2024/1/31 周三周三6 6.第二节第二节 矩阵指数函数的性质矩阵指数函数的性质和计算方法和计算方法2024/1/31 2024/1/31 周三周三7 7.一、矩阵指数函
4、数的性质:一、矩阵指数函数的性质:一、矩阵指数函数的性质:一、矩阵指数函数的性质:2、证明证明:矩阵指数函数定义中,令t0即可得证3、总是非奇异的,必有逆存在,且:证明证明:1、设A为nn阶矩阵,t1为t2两个独立自变量,则有:证明证明:根据定义证明2024/1/31 2024/1/31 周三周三8 8.5、对 有:4、对于nn阶方阵A和B:如果A和B可交换,即AB=BA,则 如果A和B不可交换,即AB BA,则6、如果P是非奇异阵,即 存在,则必有:证明证明:根据定义证和 注意注意:用途用途:此性质经常用于计算2024/1/31 2024/1/31 周三周三9 9.7、如果A是nn阶对角阵,
5、则 也是nn阶对角阵:则有:如果:证明证明:根据定义证2024/1/31 2024/1/31 周三周三1010.8、如果 是mm阶的约当块:则有:证明证明:略。根据定义证。2024/1/31 2024/1/31 周三周三1111.其中 是约当块其中 是对应约当块 的矩阵指数函数。9、当A是约当矩阵时:则有:例如例如:2024/1/31 2024/1/31 周三周三1212.二、矩阵指数函数的计算二、矩阵指数函数的计算二、矩阵指数函数的计算二、矩阵指数函数的计算:直接求解法:根据定义 拉氏变换求解:标准型法求解:对角线标准型和约当标准型非奇异变换 待定系数法:凯莱哈密顿(简称C-H)定理求出的解
6、不是解析形式,适合于计算机求解。1 1、根据矩阵指数函数的定义求解:根据矩阵指数函数的定义求解:对所有有限的t值来说,这个无穷级数都是收敛的 2024/1/31 2024/1/31 周三周三1313.2 2、用拉氏变换法求解:、用拉氏变换法求解:关键是必须首先求出(sI-A)的逆,再进行拉氏反变换。3 3、标准型法求解标准型法求解:思路思路:根据矩阵指数函数性质6:对A进行非奇异线性变换,得到:联立上两式,得到:有二种标准形式:对角线矩阵、约当矩阵2024/1/31 2024/1/31 周三周三1414.其中:P为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。(1)当A的特征值 为两两相异时:对角线标
7、准型对角线标准型对角线标准型法求矩阵指数函数的步骤:对角线标准型法求矩阵指数函数的步骤:1)先求得A阵的特征值 。2)求对应于 的特征向量 ,并得到P阵及P的逆阵。3)代入上式即可得到矩阵指数函数的值。2024/1/31 2024/1/31 周三周三1515.(2)当A具有n重特征根 :约当标准型约当标准型 其中:Q为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。约当标准型法求矩阵指数函数的步骤约当标准型法求矩阵指数函数的步骤:此时的步骤和对角线标准型情况相同:求特征值、特征向量和变换阵Q。说明:对于所有重特征值 ,构造约当块,并和非重特征值一起构成约当矩阵。根据矩阵指数函数的性质8和9,求得 。202
8、4/1/31 2024/1/31 周三周三1616.4 4、待定系数法、待定系数法:将 化为A的有限项多项式来求解:说明说明:在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时,凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。设nn维矩阵A的特征方程为:(1 1)凯莱哈密顿(以下简称)凯莱哈密顿(以下简称C-HC-H)定理:定理:则矩阵A满足其自身的特征方程,即:2024/1/31 2024/1/31 周三周三1717.由定理知由定理知:A所有高于(n-1)次幂都可由A的0(n-1)次幂线性表出。并令 即可得到如下的结论结论:即:将此式代入 的定义中:其中:为t的标量函数,可按A的特征值确定。(2 2)将)将
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