矩阵及其运算PPT课件.ppt
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1、第二章 矩阵及其运算矩阵是线性代数的一个主要研究对象,也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中,矩阵的运算起着重要的作用,本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。2.2 逆矩阵2.1 矩阵的概念及运算2.3 矩阵的分块第一节 矩阵的概念1.定义定义 由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行n列的数表称m行n列矩阵,简称mn矩阵。记作一、概念:这 mn 个数称为矩阵 A 的元素,简称为元,数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列,称为矩阵 A的(i,j)元。以数 aij 为(i,j)元的矩阵可简
2、记作(aij)或(aij)mn,mn 矩阵 A也记作A mn。元素是实数的矩阵,称为实矩阵;元素是复数的矩阵称为复矩阵。行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵,记作 An。2.行矩阵、列矩阵与方阵行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵,又称行向量。只有一列的矩阵称为列矩阵,又称为列向量。行数与列数都等于n的矩阵叫方阵,记为An。3.同型矩阵与矩阵相等同型矩阵与矩阵相等:如果两个矩阵的行数相等、列数也相等,就称它们是同型矩阵。如果两个同型矩阵的对应元素相等,那么就称这两个矩阵相等。记作:A=B4.零矩阵零矩阵:元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O。不同型的零矩阵是不相等的。5.对角矩
3、阵、单位矩阵与数量矩阵对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵 如果 n 阶方阵除主对角线上的元素不全为零外,其余元素全为零,这样的 n 阶方阵称为对角矩阵。记作 A=diag(1,2,n)如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全为1,其余元素全为零,这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k,其余元素全为零,这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量矩阵。二、矩阵的运算1.矩阵的加法矩阵的加法:设有两个同型的 mn 阶矩阵A=(aij)、B=(bij),则矩阵 A 与 B 的和记为A+B,并规定 注:矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行;两个矩阵相加时,对应
4、 元素进行相加。矩阵加法的运算律:(1)A+B=B+A (2)(A+B)+C=A+(B+C)设矩阵 A=(aij),记A=(aij),称 A为矩阵 A的负矩阵。由矩阵加法的定义,显然有 A+(A)=O,由此,矩阵的减法可定义为 B=+(B)2.矩阵的数乘:矩阵的数乘:数与矩阵的乘积记为A或A,并规定:由此可见,矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵同型的矩阵,并且,是用数与矩阵的每一个元素相乘。矩阵数乘的运算律:矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性运算。3.矩阵的乘法:矩阵的乘法:设矩阵 A为mn 阶矩阵、矩阵B为 np 阶矩阵,A=(aij)mn、B=(bij)np,则矩阵 A与 B 的乘积为一 m
5、p 阶矩阵C=(cij)mp,记 C=AB,且 就是说,矩阵C 的第 i 行第 j 列的元素等于矩阵 A 的第 i 行的所有元素与矩阵 B 的第 j 列的对应元素的乘积之和。矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等;矩阵的乘法中,必须注意矩阵相乘的顺序,AB是A左乘B的乘积,BA是A右乘B的乘积;AB与BA不一定同时会有意义;即是有意义,也不一定相等;AB=O 不一定有A=O或B=O;A(X Y)=O 且 A O 也不可能一定有X=Y只有方阵,它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律,而不满足交换律,因而有下面的式子:(1)An Am=An+m (2)(An)m=An
6、 m (3)(AB)k Ak Bk4.矩阵的乘幂:矩阵的乘幂:设 A 是 n 阶方阵,定义:5.矩阵的转置:矩阵的转置:把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的一个新矩阵,叫做 A的转置矩阵,记作AT。如果 A是一个 mn 阶矩阵,那么 AT 就是一个 nm 阶矩阵。且 A 的行一定就是 AT中同序数的列证明:设矩阵 A为ms 阶矩阵,矩阵 B为sn阶矩阵,那么:(AB)T与 BTAT 是同型矩阵;又设 C=A B,因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji,即cji=aj1b1i+aj2b2i+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+bsiajs而b1i,b2i,bsi 正好
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