陕西西安市八校2011届高三数学4月联考试题-理.doc

陕西省西安地区八校2011届高三年级4月联考数学（理科）试题
2011年4月
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，则满足的集合的个数是（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D. 8
2. 方程所表示的曲线为（ ）
A. 焦点在轴上的椭圆 B. 焦点在轴上的椭圆
C. 焦点在轴上的双曲线 D. 焦点在轴上的双曲线
3. 已知复数，，则在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 在边长为1的等边中，设，，，则（ ）
A. B. 0 C. D. 3
5. 如图在棱长为5的正方体中，是棱上的一条线段，且，是中点，点是棱上动点，则四面体的体积（ ）
A. 是变量且有最大值 B. 是变量且有最小值
C. 是变量且有最大值和最小值 D. 是常量

6. 如图，程序框图所进行的求和运算是（ ）
A.
B.
C.
D.

7. 函数的图像经过原点，且它的导函数的图像是如图所示的一条直线，则的图像不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
8. 在区间上随机取一个数，则的值介于0到之间的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布.已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名，若，则此次参赛学生总人数约为（ ）
A. 526 B. 431 C. 345 D. 673
10. 观察下列三角形数表：

其中从第2行起，每行一个数为其“肩膀”上两个数之和，则该数表的最后一行的数为（ ）
A. B. C. D.

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分.把答案填在答题卡相应题号的位置上）
11. 在的展开式中，的系数为 .
12. 设变量满足约束条件，则的最小
值 .
13. 设曲线在点处的切线与直线垂直，
则 .
14. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是 .
15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A. （不等式选做题）函数的最大值是 .
B. （几何选讲选做题）如图，切圆于点，割线经过圆心， 绕点逆时针转到，则的长为 .

C. （极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 .

三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、推理过程和演算步骤）
16. （本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）在所给的坐标纸上作出函数的图象（不要求作图过程）
（Ⅱ）令，，求函数与轴交点的横坐标.

17. （本小题满分12分）
已知实数列为等比数列，其中，且，，成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得当时，恒成立？若存在，求出的值构成的集合.
若不存在，请说明理由.

18. （本小题满分12分）
某大学举办“我爱记歌词”校园歌手大赛，经过层层选拔，有5人进入决赛，决赛办法如下：选手先参加“千首电脑选歌”演唱测试，测试过关者即被授予“校园歌手”称号，否则参加“百首电脑选歌”演唱测试. 若“百首电脑选歌”演唱测试过关也被授予“校园歌手”称号，否则被彻底淘汰.若进入决赛的5人“千首电脑选歌”演唱测试过关的概率是0.5，“百首电脑选歌”演唱测试合格的概率是0.8，而且每个人每轮测试是否合格是相互独立的.试计算（结果精确到0.01）：
（Ⅰ）恰好有两人参加“百首电脑选歌”演唱的概率；
（Ⅱ）平均有几人参加“百首电脑选歌”演唱；
（Ⅲ）至少一人被最终淘汰的概率.

19. （本小题满分12分）
如图在三棱锥中，平面，M、N分别是和SC的中点，设，
，直线与直线所称的角为
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求和所成角的余弦.

20. （本小题满分13分）
设直线的方程为，点到点的距离与点到直线的距离之比为.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设定点的坐标为，直线与轨迹交于M，N两点.试探求点是否可以为的垂心？若可以，求出直线的方程；若不可以，请说明理由.

21. （本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）求证：存在定点M，使得函数图象上任意一点关于点对称的点也在函数的图象上，并求出点的坐标；
（Ⅱ）定义其中且，求；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的，求证：对于任意都有

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