初三数学习题之坡度.doc

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（2010浙江嘉兴）设计建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD，如图（单位：米）．设路基高为h，两侧的坡角分别为和，已知，，，．
（1）求路基底部AB的宽；
（第21题）
（2）修筑这样的路基1000米，需要多少土石方？

17cm
（第19题）
A
B
C
D
E
F

【答案】1）作于E，于F，则，

（第21题）
在Rt△ADE中，∵，∴．
在Rt△CFB中，∵，∴，∴．
在梯形ABCD中，又∵EF＝CD＝10，
∴AB＝AE＋EF＋FB＝16（米）． …6分
（2）在梯形ABCD中，∵AB＝16，，，
∴面积为（平方米），
∴修筑1000米路基，需要土石方：（立方米）． …4分

（2010 浙江台州市）施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两
棵树间水平距离AB=4米，斜面距离BC=4.25米，斜坡总长DE=85米．
（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）；
（2）若这段斜坡用厚度为17cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?
参考数据
cos20°0.94，
sin20°0.34，
sin18°0.31，
cos18°0.95

【答案】(1) cos∠D=cos∠ABC==0.94，
∴∠D20°．
（2）EF=DEsin∠D=85sin20°85×0.34=28.9(米) ，
共需台阶28.9×100÷17=170级．

（2010江苏泰州）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）

【答案】过点A作AD⊥BC于点D，

在Rt△ADC中，由得tanC=∴∠C=30°∴AD=AC=×240=120(米)
在Rt△ABD中，∠B=45°∴AB＝AD＝120（米）
120÷（240÷24）＝120÷10＝12（米/分钟）
答：李强以12米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A．

（2010湖南邵阳，22，8分）如图（十二），在上海世博会场馆通道建设中，建设工人将坡长为10米（AB＝10米），坡角为20°30（∠BAC＝20°30）的斜坡通道改造成坡角为12°30（∠BDC＝12°30）的斜坡通道，使坡的起点从点Ａ处向左平移至点Ｄ处，求改造后的斜坡通道BD的长。（结果精确到0.1米,参考数据:sin12°30＝0.21,sin20°30＝0.35,sin69°30＝0.94）

【答案】由题意，BC＝AB×sin20°30＝10×0.35＝3.5（米）；
在Rt△BDC中，sin12°30＝，故BD＝≈16.7．
答：履行后斜坡通道BD的长约为16.7米．

（2010江苏淮安）某公园有一滑梯，横截面如图薪示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点
E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=，BF=3米，BC=1米，CD=6米．求：
(1) ∠D的度数；
(2)线段AE的长．

【答案】解：（1）∵四边形BCEF是矩形，
∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE，
∴∠BFA=∠CED=90°，
∵CE=BF，BF=3米，
∴CE=3米，
∵CD=6米，∠CED=90°，
∴∠D=30°.
（2）∵sin∠BAF=， ∴，∵BF=3米，∴AB=米，
∴米，∵CD=6米，∠CED=90°，∠D=30°，
∴∴米，∴AE=米.

（2010江苏扬州）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1:，AB＝10米，AE＝15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）

A
B
C
D
E
45°
60°

【答案】解：作BF⊥DE与点F，BG⊥AE于点G
在Rt△ADE中
∵tan∠ADE=,
∴DE=AE ·tan∠ADE=15
∵山坡AB的坡度i=1：，AB=10
∴BG=5，AG=，
∴EF=BG=5，BF=AG+AE=+15
∵∠CBF=450
∴CF=BF=+15
∴CD=CF+EF—DE=20—10≈20—10×1.732=2.68≈2.7
答：这块宣传牌CD的高度为2.7米．

（2010 四川泸州）如图5，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：.
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）

【答案】（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H.∵ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DHEG，故四边形EGHD是矩形，∴ED=GH，在Rt△ADH中，AH=DH·tan∠ADH=10×tan45°=10，
在Rt△FGE中， i=1：=,∴FG=EG=10.∴AF=FG+GH-AH=10+3-10=10-7.
（2）设防洪堤长为l，∵加宽部分主体的体积V=S梯形AFED×l=(3+10-7)×10×500=25000-10000
答：加固后坝底增加的宽度为（10-7）米，需土石（25000-10000）立方米.

（2010新疆乌鲁木齐）某过街天桥的截面图为梯形，如图7所示，其中天桥斜面CD的坡度为是指铅直高度DE与水平宽度CE的比），CD的长为10m，天桥另一斜面AB的坡角
（1）写出过街天桥斜面AB的坡度；
（2）求DE的长；
（3）若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长（结果精确到0.01）

【答案】解：（1）在°
的坡度 …………2分
（2）在中，
°
又 …………5分
（3）由（1）知中，°
，即 …………7分
解得 …………10分
答：改建后需占路面宽度约为 …………11分

（2010云南昭通）云南2009年秋季以来遭遇百年一遇的全省特大旱灾，部分坝塘干涸，小河、小溪断流，更为严重的情况是有的水库已经见底，全省库塘蓄水急剧减少，为确保城乡居民生活用水，有关部门需要对某水库的现存水量进行统计，以下是技术员在测量时的一些数据：水库大坝的横截面是梯形ABCD（如图7所示），AD∥BC，EF为水面，点E在DC上，测得背水坡AB的长为18米，倾角∠B=30°，迎水坡CD上线段DE的长为8米，∠ADC=120°．
（1）请你帮技术员算出水的深度（精确到0.01米，参考数据）；
（2）就水的深度而言，平均每天水位下降必须控制在多少米以内，才能保证现有水量至少能使用20天？（精确到0.01米）

【答案】解：分别过A、B作AM⊥BC于M、DN⊥BC于N， ………1分

在Rt△ABM中，
∵∠B=30°，
∴AM=AB=9．
∵AM∥BC，AM⊥BC，DN⊥BC，
∴AM=DN=9． …………………2分
∵DN⊥AD，
∴∠ADN=90°．
∠CDN=∠ADC－∠AND=120°－90°=30°．
延长FE交ＤＮ于Ｈ.
在Rt△DHE中，cos∠EDH=,
,
∴DH=, ………………………………6分
∴HN=DN－DH=9－=9－4×1.732≈2.07．（米） ……………8分
（2）（米）．　　　　 ……………………………9分
答：平均每天水位下降必须控制在0.01米以内，才能保证现水量至少使用20天
（2010贵州遵义）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAD=60°，坡长AB=20m,为加强水坝强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡的坡角∠F=45  ，求AF的长度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414, ≈1.732）

【答案】解法一：过点作于 1分
在中，
∵ 2分
∴,即： 4分
(22题图) 又∵,∴ 5分
又∵,∴ 6分
∴ 7分
∴ 8分
∵,∴ 9分
答：的长为13米． 10分
解法二：过作于 1分
在中，∴ 2分
4分
∴ 6分
在中，,∴ 7分
∴ 8分
∵,∴ 9分
答：的长为13米．

10分（2010四川广安）如图．是一座人行天桥的示意图，天桥的高是l0米，坡面的倾斜角为45°，为了方便行人安全过天桥，市政部门决定降低坡度．使新坡面的倾斜角为30°若新坡脚前需留2 ．5米的人行道，问离原坡脚10米的建筑物是否需要拆除?请说明理由
(参考数据压)

【答案】当倾斜角为30°时，AD=，当倾斜角为45°时，AC=10，则C到建筑物的距离为，所以不需要拆除。
（2010四川广安）如图．是一座人行天桥的示意图，天桥的高是l0米，坡面的倾斜角为45°，为了方便行人安全过天桥，市政部门决定降低坡度．使新坡面的倾斜角为30°若新坡脚前需留2 ．5米的人行道，问离原坡脚10米的建筑物是否需要拆除?请说明理由
(参考数据压)

【答案】当倾斜角为30°时，AD=，当倾斜角为45°时，AC=10，则C到建筑物的距离为，所以不需要拆除。

72．（2010吉林）如图，在一滑梯侧面示意图中，BD//AF，BC⊥AF于点C，DE⊥AF于点E，BC=1.8m，BD=0.5m，∠A=450，∠F=290。

（1）求滑道DF的长（精确到0.1m）
（2）求踏梯AB底端A与滑道DF底端F的距离AF（精确到0.1m）
（参考数据：sin290=0.48，cos290=0.87，tan290=0.55）
【答案】