2020届高中数学：集合与常用逻辑用语单元测试卷.doc

2020届高中数学：集合与常用逻辑用语单元测试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2017·北京)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，则∁UA＝ (　　)
A．(－2，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解：由已知可得，集合A的补集∁UA＝[－2，2]．故选C.
2．(2017·浙江)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q＝ (　　)
A．(－1，2) B．(0，1)
C．(－1，0) D．(1，2)
解：根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1，2)．故选A.
3．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝ (　　)
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}
解：集合B＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，而A＝{1，2，3}，所以A∪B＝{0，1，2，3}．故选C.
4．命题“∃m∈[0，1]，使得x＋＜2m”的否定形式是 (　　)
A．∀m∈[0，1]，总有x＋＜2m
B．∃m∈[0，1]，使得x＋≥2m
C．∃m∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，使得x＋≥2m
D．∀m∈[0，1]，总有x＋≥2m
解：特称命题的否定是全称命题．故选D.
5．已知全集U＝R，集合A＝，B＝{y|y＝2x，x＜1}，则A∩(∁RB)＝ (　　)
A．(0，2) B．[2，＋∞)
C．(－∞，0] D．(2，＋∞)
解：因为集合A＝＝(0，＋∞)，B＝{y|y＝2x，x＜1}＝(0，2)，所以∁RB＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，所以A∩(∁RB)＝[2，＋∞)．故选B.
6．已知p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“ p”中，真命题有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：因为空集是任何集合的子集，{1}⊆{1，2}，所以p真q假．所以“p∨q”为真，“p∧q”“ p”为假．故选B.
7．已知集合A＝，则集合A中的元素个数为 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
解：因为∈Z且x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.故选C.
8．设a，b为正数，则“a－b>1”是“a2－b2>1”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：a－b>1，即a>b＋1.因为a，b为正数，所以a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立．反之，当a＝，b＝1时，满足a2－b2>1，但a－b>1不成立．所以“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要条件．故选A.
9．下列命题中：
①“∃x0∈R，x－x0＋1≤0”的否定；
②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；
③命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题．
其中真命题的个数是 (　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：只有③不正确．故选C.
10．(2017·浙江)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：S4＋S6－2S5＝a5＋a6－2a5＝d，所以为充要条件．故选C.
11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，( q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为(　　)
A．甲第一、乙第二、丙第三
B．甲第二、乙第一、丙第三
C．甲第一、乙第三、丙第二
D．甲第一、乙没得第二名、丙第三
解：( q)∧r是真命题意味着 q为真，q为假(乙没得第二名)且r为真(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假，只能p为真(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D.
12．已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
解：当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥.故选A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是________．
解：把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定．故填∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0＜0.
14．已知集合A＝{－1，2，3，6}，B＝{x|－2<x<3}，则A∩B子集的个数为________．
解：由交集的定义可得A∩B＝{－1，2}．因此A∩B的子集为∅，{－1}，{2}，{－1，2}．故填4.
15．已知集合A＝{1，a，5}，B＝{2，a2＋1}．若A∩B中有且只有一个元素，则实数a的值为________．
解：若a2＋1＝1，则a＝0，A∩B＝{1}；
若a2＋1＝5，则a＝±2，当a＝2时，A∩B＝{2，5}，不合题意，舍去；当a＝－2时，A∩B＝{5}；
若a2＋1＝a，则a2－a＋1＝0无解．
所以a＝0或a＝－2.故填0或－2.
16．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A⊕B为阴影部分所表示的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A⊕B＝________.

解：依据定义，A⊕B就是将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．B＝{y|y>1}，所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1，2]，依据定义得A⊕B＝{x|0≤x≤1或x>2}．故填{x|0≤x≤1或x>2}．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知R为全集，A＝{x|log(3－x)≥－2}，B＝.
(1)求A∩B；
(2)求(∁RA)∩B与(∁RA)∪B.
解：(1)由log(3－x)≥log4，得
即A＝{x|－1≤x<3}．
由≥1，得≤0，
即B＝{x|－2<x≤3}，
所以A∩B＝{x|－1≤x<3}．
(2)因为∁RA＝{x|x<－1或x≥3}，
故(∁RA)∩B＝{x|－2<x<－1或x＝3}，(∁RA)∪B＝R.
18．(12分)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，若A∪B＝A，求a的值．
解：A＝{1，2}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，B＝{x|[x－(a－1)](x－1)＝0}，所以a－1＝1或2，即a＝2或3.
19．(12分)已知集合A＝{x||x－a|≤2}，B＝{x|lg(x2＋6x＋9)>0}．
(1)求集合A和∁RB；
(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．
解：(1)因为|x－a|≤2⇔－2≤x－a≤2⇔a－2≤x≤a＋2，
所以集合A＝{x|a－2≤x≤a＋2}．
因为lg(x2＋6x＋9)>0，所以x2＋6x＋9>1，
所以x＜－4或x＞－2.
所以集合B＝{x|x<－4或x>－2}．
所以∁RB＝[－4，－2]．
(2)由A⊆B，得2＋a<－4或－2<a－2，
解得a<－6或a>0.
所以a的取值范围为{a|a<－6或a>0}．
20．(12分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R}．
(1)若A∩B＝[1，3]，求实数m的值；
(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
解：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)因为A∩B＝[1，3]，所以 得m＝3.
(2)∁RB＝{x|x＜m－2，或x＞m＋2}，
因为A⊆∁RB，所以m－2＞3或m＋2＜－1，
解得m＞5或m＜－3.
所以实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
21．(12分)已知p：x2≤5x－4，q：x2－(a＋2)x＋2a≤0.
(1)求p中对应x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
解：(1)因为x2≤5x－4，所以x2－5x＋4≤0，
即(x－1)(x－4)≤0，所以1≤x≤4，即p中对应x的取值范围为[1，4]．
(2)设p对应的集合为A＝{x|1≤x≤4}．
由x2－(a＋2)x＋2a≤0，得(x－2)(x－a)≤0.
当a＝2时，不等式的解为x＝2，对应的解集为B＝{2}；
当a>2时，不等式的解为2≤x≤a，对应的解集为B＝{x|2≤x≤a}；
当a<2时，不等式的解为a≤x≤2，对应的解集为B＝{x|a≤x≤2}；
若p是q的必要不充分条件，则BA，
当a＝2时，满足条件；
当a>2时，因为A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|2≤x≤a}，要使BA，则满足2<a≤4；
当a<2时，因为A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|a≤x≤2}，要使BA，则满足1≤a<2.
综上，实数a的取值范围为{a|1≤a≤4}．
22．(12分)设a∈R，二次函数f(x)＝ax2－2x－2a.若f(x)>0的解集为A，B＝{x|1<x<3}，A∩B≠∅，求实数a的取值范围．
解：由f(x)为二次函数知a≠0，令f(x)＝0解得其两根为x1＝－，x2＝＋.
由此可知x1<0，x2>0.
(1)当a>0时，A＝{x|x<x1}∪{x|x>x2}．
A∩B≠∅的充要条件是x2<3，即＋<3，解得a>.
(2)当a<0时，A＝{x|x1<x<x2}．
A∩B≠∅的充要条件是x2>1，即＋>1，解得a<－2.
综上，使A∩B≠∅成立的a的取值范围为(－∞，－2)∪.

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