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第18章函数及其图象 全章考点复习指导
一.函数自变量的取值范围
［知识点解析］一. 当函数解析是整式时，自变量的取值范围是一切实数。 二. 当函数解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的一切实数 三. 当函数解析式是二次根式时，被开方数为一切非负实数
［方法指导］：（1）分母不等于0；【 （a≠ 0】（2）开偶数次方中的被开方数必须大于等于0。【 （a≥0】
［例题解析］例1 求下列函数中自变量x的取值范围：(1) y＝3x－1；　　　(2) y＝2x2＋7；(3)；　　　(4)．
分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在(1)，(2)中，x取任意实数，3x－1与2x2＋7都有意义；而在(3)中，x＝－2时，没有意义；在(4)中，x＜2时，没有意义．
解 (1)x取值范围是任意实数；
(2)x取值范围是任意实数；
(3)x的取值范围是x≠－2；
(4)x的取值范围是x≥2．
归纳 四个小题代表三类题型．(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式．

例2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：
(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式；
(2)已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x(cm)，求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式；
(3)在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环．设圆环的面积为S(cm2)，求S关于r的函数关系式．
解 (1) y＝0.50x，x可取任意正数；
(2)，x可取任意正数；
(3)S＝100π－πr2，r的取值范围是0＜r＜10．
［注意］：［错误剖析］　
　一、随意变形
　　例1(2001年甘肃省中考题)求函数y=中自变量x的取值范围。
　　错解：∵y==
　　∴x2-4≥0，解之得x≥2或x≤-2。
　　剖析：因为变形后的函数y=与变形前的函数y=，自变量取值范围不同，故出现错解。
　　正解：要使函数有意义，必须
　　，解之得x≥2。
　　∴自变量x的取值范围为x≥2。
　二、随意约分
　　例2(2001年泰州市中考模拟题)求函数y=中自变量x的取值范围。
　　错解：因为y=，所以自变量x的取值范围为x≠-3的一切实数。
　　剖析：由于同时约去了分式函数中分子分母的公因式(x-2)，使原函数变形为y=，从而改变了原函数自变量x的取值范围而出错。
　　正解：要使函数有意义，必须x2+x-6≠0，即(x-2)(x+3)≠0，∴x-2≠0且x+3≠0，∴x≠2且x≠3。
　　三、以偏概全
　　例3(2001年黑龙江省中考题)求函数y=中自变量x的取值范围。
　　错解：要使函数有意义，必须2x+1≥0，∴x≥-，这就是自变量x的取值范围。
　　剖析：上述解法只考虑了二次根式下被开放数应为非负数，而未考虑分母≠0，从而以偏概全造成解题错误。
　　正解：要使函数有意义，必须
　　，∴
　　因此自变量x的取值范围是x≥-且x≠1。
　　四、混淆或与且
　　例4(2001年全国重点名校中考模拟题)求函数y=中自变量x的取值范围。
　　错解：要使函数有意义，必须x2-7x+12≠0，即(x-3)(x-4)≠0，∴x≠4或x≠3。
　　剖析：“或”是指两件事情中只有一件发生，因而x≠3与x≠4只有一个式子不成立，并不能保证(x-3)(x-4)≠0一定成立；而两件事情同时发生要用“且”。
　　正解：答案为x≠3且x≠4。
　　五、忽视实际意义
　　例5(2001年全国名牌大学附中初三数学考试训练题)一个等腰三角形的周长为12cm，底边长xcm，腰长ycm，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。
　　错解：∵x+y+y=12，∴y=6-x。∵x＞0，又等腰三角形的周长为12，∴x＜12。故自变量x的取值范围为0＜x＜12。
　　剖析：在解此实际问题时，应该考虑“三角形两边之和大于第三边”，由于忽视了这一点，因而求函数自变量x的取值范围出现错解。
　　正解：先求得y=6-x，∵x＞0，又y+y＞x，∴2y＞x，即2(6-x)＞x，∴12-x＞x，2x＜12，x＜6，故函数自变量x的取值范围是0＜x＜6。
［精典练习］：
1.在函数中，自变量的取值范围是　　　　　　　．
答案：
2.函数自变量的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
3. （2005山西大纲）函数中，自变量的取值范围是　　　　　　　　．
答案：且
4. （2005 江西淮安大纲）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
答案：B
5. （2005 四川自贡）函数中自变量的取值范围是　　　　．
答案：且
6. （2005 兰州大纲）函数的自变量的取值范围是（ ）
 　Ａ．且　　Ｂ．　　Ｃ．且　　 Ｄ．全体实数
答案：Ｂ

二.一次函数的定义
［知识点解析］：一次函数
［方法指导］：1.自变量x的指数为1， 2 . 自变量x的系数k不为0
［精典练习］：1若函数y=(m-1)x|m|+m是关于x的一次函数,试求m的值.参考答案：m=-1
2.已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时, (1)此函数为正比例函数 (2)此函数为一次函数
参考答案：:(1)由题意, 得2m-3=0,m= ,所以当m= 时,函数为正比例函数y= x

(2)由题意得2-m≠0, m≠2,所以m≠2时,此函数为一次函数
3.要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足 , .参考答案：n=2,m2
三、反比例函数的定义.
［知识点解析］反比例函数：
［方法指导］： 1.自变量x的指数为－1， 2 . 自变量x的系数k不为0 3自变量x在分母上。
［例题解析］例1、k为何值时，（1）是反比例函数； （2）是正比例函数。
例2 当m为何值时，函数是反比例函数，求出其函数解析式．
例3 将下列各题中y与x的函数关系写出来．(1)，z与x成正比例；
(2)y与z成反比例，z与3x成反比例；(3)y与2z成反比例，z与成正比例；
例4 已知y与x2成反比例，并且当x＝3时，y＝2．求x＝1.5时y的值．
分析 因为y与 x2成反比例，所以设，再用待定系数法就可以求出k，进而再求出y的值．
［详解］： 设．因为当x＝3时，y＝2，所以，k ＝18．当x＝1.5时，．
例5 已知y＝y1＋y2， y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且x＝2与x＝3时，y的值都等于19．求y与x间的函数关系式．
分析 y1与x成正比例，则y1＝k1x，y2与x2成反比例，则，又由y＝y1＋y2，可知，，只要求出k1和k2即可求出y与x间的函数关系式．
［详解］： 因为y1与x成正比例，所以 y1＝k1x；因为y2与x2成反比例，所以 ，
而y＝y1＋y2，所以 ，当x＝2与x＝3时，y的值都等于19．
所以 解得 所以．

四、一次函数的性质及其图象.
一次函数
一次函数y＝kx＋b的性质：
（1）一次函数图象是过 两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于y轴。
（2）当k>0时，图象过一、三象限，y随x的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高）；
（3）当k<0时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小。从左至右图象是下降的（左高右低）；
（4）当b>0时，与y轴的交点（0，b）在正半轴；当b<0时，与y轴的交点(0,b)在负半轴。当b＝0时，一次函数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线
（5）几条直线互相平行时 ，k值相等而b不相等。
［错解剖析］
一、求直线经过哪个象限只考虑一次函数而漏解
例1 如果直线不经过第一象限，那么实数的取值范围是 .
错解：∵直线经过二、三、四象限，∴.
剖析：此直线不经过第一象限，可能经过二、四象限或二、三、四象限，应分两种情况考虑，当直线是正比例函数时，；当直线是一次性函数是.故正确答案为.
二、求一次函数解析式考虑不全而漏解
例2 一次函数中，当时，对应的的值为，求此解析式.
错解：当时，；当时，.得.
剖析：由一次函数的性质可知，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小，则此题应分两种情况求解.当时，；当时，或者当时，；时，.因此正确答案为或.
例3 当 时，函数是一个一次函数.
错解：∵∴时，是一次函数.
剖析：∵函数中的项既可以是一次项，也可以是常数项，∴应分三种情况讨论.当，即时，；当且，即时，；当，即时，.因此，正确答案为或或.
三、忽视一次函数中而多解
例4 若是一次函数，求的值.
错解：∵，∴.
剖析：由一次函数定义可知，本题的条件除外，还要求.上面的错解忽视了隐含条件即而导致多解.正确解法为：∵且，∴.
四、画一次函数的图象没有考虑实际意义而出错.
例5 一根弹簧原长13厘米，它能挂重量不超过16千克，并且每挂重量1千克就伸长厘米.
（1）写出挂重后弹簧长度（厘米）与挂重（千克）之间的函数解析式；
（2）画出它的函数图象.
错解：（1）设，则
（2）∵

∴图象为：过（两点的直线.
剖析：这是一道与实际应用相关的函数题，所以写解析式时一定要标明自变量的取值范围.另外，画有实际意义的函数图象时，一定要注明与轴，轴的交点，是否为直线、射线、线段等，不要盲目画成直线.正确的解法为：
（1）

（2）∵

∴图象为：连结（两点的线段.
［例题解析］【例题经典】
理解一次函数的概念和性质
例1 若一次函数y=2x+m-2的图象经过第一、第二、三象限，求m的值．
【分析】这是一道一次函数概念和性质的综合题．一次函数的一般式为y=kx+b（k≠0）．首先要考虑m2-2m-2=1．函数图象经过第一、二、三象限的条件是k>0,b>0，而k=2，只需考虑m-2>0．由便可求出m的值．
用待定系数法确定一次函数表达式及其应用
例2 （2006年济宁市）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：
鞋长
16
19
24
27
鞋码
22
28
38
44
（1）分析上表，“鞋码”与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数？
（2）设鞋长为x，“鞋码”为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）如果你需要的鞋长为26cm，那么应该买多大码的鞋？
【评析】本题是以生活实际为背景的考题．题目提供了一个与现实生活密切联系的问题情境，以考查学生对有关知识的理解和应用所学知识解决问题的能力，同时为学生构思留下了空间．
建立函数模型解决实际问题
例3 （2006年南京市）某块试验田里的农作物每天的需水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示．这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克．
（1）分别求出x≤40和x≥40时y与x之间的关系式；
（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时，需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？
【评析】本题提供了一个与生产实践密切联系的问题情境，要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信息，判断函数类型．建立函数关系．为学生解决实际问题留下了思维空间．

参考答案:例题经典
例1：m=3 例2：（1）一次函数，
（2）设y=kx+b，则由题意，得 ，
∴y=2x-10，（3）x=26时，y=2×26-10=42．
答：应该买42码的鞋．
例3：解：（1）当x≤40时，设y=kx+b．
根据题意，得，
∴当x≤40时，y与x之间的关系式是y=50x+1500，
∴当x=40时，y=50×40+1500=3500，
当x≥40时，根据题意得，y=100（x-40）+3500，即y=100x-500．
∴当x≥40时，y与x之间的关系式是y=100x-500．
（2）当y≥4000时，y与x之间的关系式是y=100x-500，
解不等式100x-50≥4000，得x≥45，
∴应从第45天开始进行人工灌溉．

五、反比例函数的性质及图象.
［考点解析］反比例函数y＝的性质：
（1）反比例函数的图象是双曲线，图象无限的靠近于x、y轴。
（2）当k>0时，图象的两个分支位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，从左至右图象是下降的（左低右高）；
（3）当k<0时，图象的两个分支位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，从左至右图象是上升的（左高右低）。
（4）反比例函数y＝与正比例函数y＝k x的交点关于原点对称。
［考点例析］一、反比例函数解析式的确定
例1 点A（1，6）在双曲线上，则k=_________。
分析：反比例函数的图象是双曲线。点A在双曲线上，则该点的横、纵坐标满足反比例函数的解析式；即，故k=6。
例2 如图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为（ ）

分析：反比例函数的解析式为，由图象知：它经过点P（-1，1），即。
故k=-1。注意到只在第二象限内有图象，所以x<0。故选C。
二、反比例函数的有关性质
例3 如图是反比例函数的图象，那么k与0的大小关系是k______0。

例4 已知点，在函数的图象上，则下列关系式正确的是（ ）

例5 一次函数与反比例函数的图象有两个不同的交点，点是函数的图象上的三个点，则的大小关系是（ ）

分析：以上几例主要考查反比例函数的性质：对于反比例函数，当k>0，函数图象在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，当k<0，函数图象在第二、四象限，在每一个象限内，y随着x的增大而增大。 故例3答案为：k>0；例4答案为：A；例5答案为：D。
三、反比例函数的实际应用
例6 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例。已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是___________。
例7 一定质量的氧气，它的密度是它的体积V（）的反比例函数，当时，。 （1）求与V的函数关系式； （2）求当时氧气的密度。
例8 为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒。已知药物燃烧时，室内药物每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示）。现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立米的含药量为6毫克。请根据题中所提供的信息，解答下列问题：

（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为_________，自变量x的取值范围是：___________；
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始至少需要经过________分钟后，学生才能回到教室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
分析：以上几例主要考查反比例函数的实际应用。例6，例7主要确定是函数的解析式；
例6的答案为： 例7的答案为：
1
0
1
3

C
B
A

例8是一个分段函数，答案为：

四、考查反比例函数与一次函数的综合运用
例9：（2006年常德中考题）已知反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点与点，且与反比例函数的图象相交于另一点．
（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求点的坐标．
分析：由A点可求出反比例函数的解析式，由A、C可求出一次函数的解析式，从而解决问题
解析：（1）点在反比例函数的图象上． 　　即
　　　　　　又，在一次函数图象上．
　　　　　　即
　　　　　反比例函数与一次函数解析式分别为：与
　　　　（2）由得，即
　　　　　或于是或
　　　　　点的坐标为
评注：解决综合问题离不开解析式这一基础，求解析式往往是中考必考的内容之一，其解题的方法是将点的坐标代入解析式来解决问题．
［注意］［错误剖析］
 [例1] 教材中习题17.1中的第5、6题
如果y是z的反比例函数，z是x的反比例函数，那么y与x具有怎样的函数关系。
错解：∵ y是z的反比例函数     ∵ z是x的反比例函数           ∴y是x的正比例函数关系。
错解分析：此题容易出错的原因就在于同学们对比例系数k的认识有误，因为不同的函数关系式，比例关系系数量不相同的，所以我们在同一问题中如果出现两个比例系数k时，一定要加以区分。一般地，我们用k1和k2来区分。
正确解法：
   ∵ y是z的反比例函数     ∵ z是x的反比例函数                ∴ y是x的正比例函数。
 [例2]已知函数是反比例函数，则m的值为

︱m︱-2=-1

m+1≠0

m≠-1

错解：
根据题意， ︱m︱-2=-1 解得：m=±1

错解分析：此题忽略了反比例函数中，比例系数k所满足的条件 k≠0     
   [例3] 在函数（k为常数）设图象上有三点A（-3，y1）、B（-1，y2）、C（2，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系为
A .y2＜y3＜y1 B. y3＜y2＜y1 C. y1＜y2＜y3 D. y3＜y1＜y2

错解：∵ k2+1＞0 ∴ -（k2+1）＜0 ∴ 反比例函数的图象分布在二、四象限。
∴ y随x增大而增大 ∴ y3＞y2＞y1 ∴ 应选C
错解分析：此同学对反比例函数的性质理解出现了偏差，当k＜0时，函数图象确实分布在二、四象限，但y随x增大而增大是针对同一双曲线上的点而言，而本题中的A、B、C三点根本不在同一双曲线上。所以此题最好解法是借助图象求解。

三、解答题
34．已知一次函数与反比例函数的图象的一个交点为P（a，b），且P到原点的距离是10，求a、b的值及反比例函数的解析式．

36．已知：反比例函数和一次函数，其中一次函数的图像经过点（，5）．
（1）试求反比例函数的解析式；
（2）若点A在第一象限，且同时在上述两函数的图像上，求A点的坐标．

38．如图17-8已知一次函数和反比例函数图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．
图17-9

（1）求实数的取值范围；
（2）若ΔAOB的面积S＝24，求的值．

39．如图17-9，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象的两个交点．
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．

图17-12

42．如图17-12，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．
（1）求的值；
（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；
（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．

参考解析
34．解析：由题设，得
， ，或，，
36．解析：（1） 因为一次函数的图像经过点（,）所以有　 　　　　
解得，所以反比例函数的解析式为．
（2）由题意得：　解这个方程组得： 　　　　
因为点A在第一象限，则，，所以点A的坐标为（，）　　　　　
38．解析：（1），（2），略解：∵
∴，∴，而，
∴，∴
39．解析：（1）∵ 点A(-4，2)和点B(n，-4)都在反比例函数y=的图象上，
∴ 解得又由点A(-4，2)和点B(2，-4)都在一次函数y=kx+b的图象上，
∴ 解得 ∴ 反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为y=-x-2 ．（2）x的取值范围是x>2或-4＜x＜0 .
42．解析：（1）点横坐标为，当时，．
点的坐标为．点是直线与双曲线的交点，．
（2）如答图17－1，点在双曲线上，当时，点的坐标为．过点分别做轴，轴的垂线，垂足为，得矩形．
，，，．
．