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中美小学数学教育之比较
作者:南京市建邺区教师进修学校 王 凌
我有幸赴美参加在亚特兰大举办的2007年美国数学教师协会的年会，在加州橙县听了近十节小学数学课，并与我国小学数学课堂教学进行了比较。
如何看待数学教学与教育的关系?
美国教师认为教学是为教育服务的，“人的教育首先是公民教育”。我问美国小学数学教师“教什么最重要”，他们认为重要的是教会学生懂得感谢，培养学生的公民意识，让学生产生学习的愿望，让学生学会问为什么，让学生懂数学。他们认为教育的三大目标是坚持学术追求、维护社会公正、尊重多元文化。什么是他们所说的多元文化呢?他们举了例子：对同一个问题，老人和孩子、黑人和白人、正常人和残疾人的理解可能是完全不同的，任何人都不能以自己的思想为标准去评价别人。
在我的想象中，美国的小学数学课堂应当是人声鼎沸的、热闹的、纪律难以调控的。而实际上美国的课堂却是安静的、有秩序的，即便是学生的课余活动也是如此。这令我感到非常诧异。这种行为习惯是靠什么养成的呢?我认为是文化传统和社会环境的影响。在美国，人们在公共场合的谈话一般是轻声的。课堂上学生发言比较轻声时，教师会主动走近他，请他再说一遍。而在中国，教师会要求学生大声地重说一遍，并且认为这样对培养学生的自信是有着良性作用的。事实上，自信源自对所谈问题认识的深度，源自长期在研究问题的过程中坚持独立思考，并且用科学的方法进行研究，对所得结果的合理性的一种强烈的信念。这些都不是通过大声说话所能培养的。从美国课堂学生轻声交流的现象中，我看到了学生自幼形成的对公共环境秩序的尊重。我了解到当学生刚入学时，美国教师通常会用一段时间(一般是一个月)教学生在学校应遵循的行为规则——这些规则与学生的家庭教育、成年后在工作环境中所应遵循的规则保持了高度的一致性。这些规则为整个社会文化的继承和发展所应遵循的道德底线奠定了基础。
回国后，我问周围的小学数学教师“教什么最重要”，多数人的回答是教数学知识最重要，教数学思想方法最重要。从这点上看，我国的学校教育被迫让位于为着分数的纯学科教学，这是目前教育改革中的最大阻力。尽管国家一直坚持强调德、智、体全面发展，但在考试分数决定一个人的命运与前途时，德与体便退居其次了，很多教师便将自己的学科教学与学生的道德教育割裂开来，将学生的道德教育完全推给“品德”课程。道德是无法脱离行为而独立存在的，更不可能单独．存在于某门课程当中。对照美国的一些值得借鉴的做法，我国小学数学教师目前最缺乏的是教育意识，是教学为教育服务的意识。我们要思考：学校教育的目的是什么?小学数学教育的目的是什么?是培养缺乏社会责任感的高分学生吗?存在脱离社会活动的素质教育吗?
如何认识探究学习?
美国的探究学习比较注重培养学生的科学精神，通常会请学生利用所学的数学知识完成感兴趣的小课题研究。贯穿其中的是对问题的兴趣，是探究问题时方案的设计、执行、调控以及对研究结果的验证。探究前，教师往往会对学生进行指导或提出某些要求，如“想研究什么问题”、“能否拟个计划”、“准备如何收集数据”、“如何验证结果的合理性”。在学生遇到困难时，教师会提醒你现在在做什么、想说明什么、是否达到了预期目的”，但绝不越俎代庖，代替学生思考。探究后，教师会组织学生交流想法，并且非常注重请学生作出解释，而不是关注答案的对错。如六年级学习统计后，教师请学生利用统计知识完成一项感兴趣的小课题研究。有四位学生想研究奶酪在自然情况下会有什么变化。于是他们用奶酪做成花朵的形状，放在花盆中，每天记录日照时间、温度等自然情况以及奶酪的变化，最后写成研究报告。在这个过程中，教师关心的是“你们如何进行记录”、“你们为什么选用折线统计图进行记录”、“你们认为奶酪的变化与什么有关”、“你们如何通过统计的数据说明自己的研究成果?”这样的研究犹如一次利用数学知识进行的科学研究，其研究方法、解决问题的思路具有较强的可迁移性，在这个过程中，学生的元认知能力在提高，科学探究意识在加强。
美国教师重视让学生探究，但存在教师引导不到位、用时过长、效率不高等现象。而我国教师会灵活选择有意义的接受式学习或探究式学习方式，并且大部分学习内容会采用有意义的接受式学习方式，而只在某些环节让学生探究。我国教师追求课堂教学的效率，因此教学目标明确，教学重点突出，所有教学环节都围绕教学目标进行。我国教师在这方面存在的主要问题是：探究活动形式化，一些无须探究的内容也让学生探究；对结果的关注远远超过了对过程的关注；急于提炼出“好的方案”，对探究过程中多样化方法的价值缺乏应有的重视；探究过程中教师暗示过多，等等。我们必须认识到：不是所有的数学内容都适合学生探究，也不是适合探究的内容通过学生探究都能获得令人满意的结果；探究不应成为纯个人行为，在探究过程中，教师如何发挥主导作用引领学生经历数学知识的“再创造”过程尤为重要。教师的工作具有化归的性质，即将对学生来说困难的、抽象的、复杂的东西转化成较为容易的、具体的、简单的东西。我认为教师在组织学生探究时要合理地组织好探究过程，根据不同的内容安排相应的探究活动，通过行为操作、表象操作、符号操作完成从具体到抽象的提升。为保证教学的效益，教师还应对学生的课前学情进行准确的分析，以了解学生的学习现状及探究时可能遇到的障碍，再有的放矢地设计问题，引导学生思考。
怎样处理算法多样化与算法优化的关系?
美国教师过于强调算法多样化，淡化对算法的优化。如在六年级《解方程》练习中，某教师请学生探究x+5=12的解，并对算法作出解释。学生主要采用画图的方法，解法如下：

   有学生用10个正方形组成的长方形表示x，摆成类似上图的样子。很明显，表示未知数的长方形中正方形的个数(10个)与x的值并不相等，即学生摆出的式子实际上是10+5=12。教师居然并不纠正。除上述方法外，也有学生这样做：

  教师并未比较两种方法的异同，继续出示2x+3=9，让学生画图求解。学生的主要解法如下：

有学生画图如下(其实质是20+3=9)，但仍然得出x=3，而教师并未纠正。

也有学生用较为抽象的方法解，如下：
2x+3=9
2x+3-3=9-3
2x=6
x=3
教师仍然未组织学生比较、优化。
鼓励学生独立思考，尊重学生的个性方法，是值得肯定的。但这是一节解方程的练习课，教学目标不能还定位在利用具体的学具或图示来解释方程的求解过程，而应从具体操作的层面向抽象思维的层面转化。因此，教师如能将操作过程与抽象思维进行比较，并鼓励学生用不同的方法解答，在体验的基础上比较，请学生选择自己认为简便、快捷的方法，对学生形成算法结构，提升技能是非常有好处的。更重要的是，脱离具体操作的算法有利于学生了解数学是一种模式的科学，有利于数学模型的建构。
与美国教师相比，我国教师比较注重对算法的优化，即使对多样化的关注也是为算法优化作准备、打基础的。在进行算法优化时，我国教师主要存在的问题是：①简单化。在出示不同算法后，教师带有暗示性地提醒学生某种算法好。教师主导功能过强，优化速度过快，学生缺少应有的体验，被动接纳他人的算法，多样化成为点缀。②绝对化。在肯定某种算法的同时，教师往往会否定其他算法，忽视算法的辩证性。
在算法多样化的基础上必然要进行算法的优化，达成对数学深层次的理解。如何引领学生在体验的基础上自主比较、自主选择算法，从而对算法进行优化?当学生探究出多种不同的方法后，教师要组织学生深入交流，重点探讨“怎样算，”和“为什么这样算”，理解不同方法的算理；要引导学生关注他人的算法，把学生间的交流和师生间的交流融合起来，丰富解决问题的视角，为不同方法的比较作准备，让算法多样化的交流过程成为理解算理的重要过程。
如何认识技能对数学学习的作用?
在美国购物，买了2美元5美分的商品，出于找零方便的考虑，我付给营业员10美元5美分，营业员非常诧异地表示10美元就够了，一定要先退给我5美分，然后找零。可见，大部分美国人不擅长计算。美国教师认为，数学教学更多的是培养人解决问题的一种思维方式，强调的是对问题解决的计划、实施、验证与说明，强调创造，技能(尤其是计算技能)是退居其次的。他们强调理解，忽视记忆。如375/1000=3/8=0.375，这在我国是要求五年级学生熟练记忆的内容，而美国六年级的学生需要经过逐次约分才能化简。有些美国教师甚至片面地认为记忆数学知识会扼杀儿童的创造力。对基本知识和基本技能的忽视导致美国学生在进行有理数运算时遇到巨大的困难。张孝达先生曾指出：知识必须转化为技能，否则这些知识既不能巩固，也不能应用；只有前面的知识转变为技能后，才能比较容易地接受新知识。越是基础的越重要。小学数学教学必须重视技能的教学。美国现在开始重视技能训练了，多数美国教师意识到基本技能对数学学习的重要性。如我参观的一所学校也对学生进行口算过关测试，要求五年级学生5分钟口算70道20以内的加减法或表内乘除法题。
我国教师历来重视“双基”训练，但是训练的形式往往过于单一化、模式化、功利化，导致部分学生算得快、算得准，但缺乏灵活性，没有产生灵活计算的意识，有的甚至只有看到“简便计算”才知道简算，否则就会问“老师，这题能简算，要不要简算”。技能训练需要加强与生活实际的联系，沟通知识之间的联系，加强技能训练与数学思考的联系。
怎样设计练习?
美国的练习设计趣味性、科学性强，练习中的情境视野开阔，上至天文，下至地理，既有厚重的历史事件，也有活泼的数学故事，往往一组练习以一根主线串联起来，如用有关鲨鱼的各种数据(牙齿数、体长、体重、泳速)编题，用有关喜马拉雅山的信息编题，用太阳系中的相关数据编题等。如五年级以乐器(相关数据见下表)为载体进行估算的练习：装125把吉他，需要多少根弦?300根弦够装8把琵琶吗?装3把不同的乐器共用了23根弦，可能是哪三种乐器?如果需要装6把竖琴和3把琵琶，400根弦够吗?这些练习层次性不强，处在巩固练习水平，变式较少。
乐器名
三弦琴
小提琴
五弦琴
吉他
锡塔琴
曼陀铃
古筝
琵琶
竖琴
弦数
3
4
5
6
7
8
13
24
47
中国教师在练习题的选材方面视野不够开阔，虽然也考虑创设与生活有关的情境，但往往限于购物、学校活动等，有生搬硬套之嫌。我们在自主根据教学内容编排习题上的优势是：教师很重视习题的层次性、针对性，关注变式练习。如梯形面积的练习设计：
1．熟悉公式，会用公式解答简单问题。如求下面梯舷的面积。(单位：厘米)

2．了解求面积的相关要素，并且开始变换图形的位置。如量出下面各梯形的相关数据，并计算面积。

3．进一步把握要素，区分哪些条件是多余的。如计算下面图形的面积。(单位：厘米。)

4．综合运用，在实际情况中体会梯形面积的应用。如：“一块梯形地，上底20m，下底30m，高15m，每平方米可种4棵树苗，这块地可种多少棵树苗?”
5．多角度理解公式S=(a+b)h÷2中的a+b，灵活解题。如：“王大叔靠墙用篱笆围了一块梯形地，已知篱笆全长20m，这块地有多少平方米?”

   我国教师认为强化练习中的变式，可以更加突出在变化中不变的关键因素。这样的
练习可以让学生更深刻地理解在不同场景中梯形面积公式的应用，突显数学的模式特点。

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