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野兔生长问题

摘要

本文根据已知的野兔连续十年的统计情况，探讨野兔的合理的存活率并推测当前的发展趋势，针对不同情况给出方法推算出野兔数量的走向的目的。
首先，充分利用给出的前两年来野兔的数量变化，分析近两年来的野兔群落的情况，建立一个线性方程组的数学模型，通过求解方程组得出不同年份野兔的数量的数学关系，并且求出了平均增长率为：1.718%；所以通过一些比例之间的关系得到这个野兔群落的T＝10的数量（见表1）。
然后，建立一个种群增长的差分方程模型，求出的野兔生长规律。求解当前野兔对应的Leslie矩阵的特征根，发现该特征根大于1，根据Leslie矩阵的稳定性理论知道：如果不进行避孕注射该野兔种群将无限增长（如果环境允许）；据此，利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，求解的主要思路是：特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程⑥即可。
最后，只需将野兔的存活率代入那个以繁殖率为未知数的方程（方程⑥），求出在哪些年内野兔的增长有异常现象，。考虑到求解的数据比较多，采取计算机模拟的方法来确定移走野兔后所需要进行避孕的母兔头数
为了检验计算机模拟的正确性，用理论去验证。

问题重述

位于某国的国家公园中栖息着近10000头野兔。管理者要求有一个健康自由的环境以便观察这个10000头野兔的数量变化情况。管理者逐年统计了野兔的数量，发现在过去的10年中，野兔的生长变化并不稳定，呈现波浪式起伏，根据这些信息我们需要解决以下问题：
1. 探讨年龄在1岁到10岁之间的野兔的合理的存活率的模型，推测这个野兔群落的当前的年龄结构。
2. 知道哪些环境和内部因素对野兔生长数量的影响，并测算出各个影响的程度如何。
3. 探求偶然突发事件对野兔生长数量的巨大影响和它的规律性。
4. 根据野兔的生长变化，对野兔的生长特点进行分析。

问题假设

1、假设野兔的性别比近似认为1：1，并且采用措施维持这个性别比；
2、假设母兔可以怀孕的年龄为1岁—6岁、最高年龄为10岁，10岁的死亡率为100%，并且6—10岁的野兔的只数呈线性递减；
3、假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；
4、假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大
5、假设0岁野兔能够活到1岁的比例为75%；
6、假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。
符号说明

： 表示一年中野兔的头数（i=0表示0岁野兔的头数，i=1表示1--10岁大象头数，i=2表示1—10岁野兔的头数）；
： 表示存活率（表示0岁野兔的存活率，表示1—60岁野兔的存活率，表示61岁—70岁野兔的存活率）；
： 表示时段k第i年龄组的野兔数量；
： 第i年龄组每个（母兔）个体在1个时段内平均繁殖的数量；
： 第i年龄组的存活率；
： Leslie矩阵；
： 矩阵的那个唯一正特征根；
： 表示移出野兔的头数；
问题分析

对于问题一，利用给出的近两年来运出的野兔的数量统计表，可以分析近十年来的野兔群落的变化情况，比如各个年龄段的野兔占总的野兔的头数的比例是多少，还可以根据十年野兔总数的不规则变化来建立方程，用于求解野兔生存规律。
对于问题二，因为考虑的是公园在未来很长一段时间的野兔生长变化问题，所以可以建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型，根据差分方程的 Leslie矩阵的特征根，结合 Leslie矩阵的稳定性理论对当前野兔种群的情况进行分析。为了保持野兔种群的稳定，必须使得Leslie矩阵的最大特征根为1，而这样，特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程特征方程，求解这个以繁殖率为未知数的方程可以得到野兔在某一年的繁殖率的取值；根据一条件建立方程来求解野兔在哪些年数量变化有异常情况。
对于问题三，可以建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型结合 Leslie矩阵的稳定性理论对当前野兔种群的情况进行分析，然后求解这个以繁殖率为未知数的方程可以得到野兔在T=10年的繁殖率的取值，接着把取值代入线性方程求出野兔在这一年的数量。
探讨野兔的存活率和当前野兔的年龄结构

下面将根据给出的近两年来运出的野兔的数量与性别统计表，分析近两年来的野兔群落的情况，建立一个线性方程组数学模型，通过求解方程组得到年龄在1岁到10岁之间的野兔的存活率，并给出野兔各年龄所占的比例，进而得到这个野兔群落的当前的年龄结构。
1、线性方程组模型的建立
（1）首先，计算一年中野兔的只数。
野兔群是由0岁，1—0岁，10岁—12岁组成 ,且稳定在10000头。设0岁的头数为X0，1—10岁野兔头数为X1，10岁—12岁野兔头数为X2。所以得到第一个方程：
X0+X1+X2=10000 ①
（2）其次，考虑到前一年野兔的总数等于前两年存活下来的野兔加上新生的幼儿再减去运出的野兔数。
设0岁野兔的存活率为，1—10岁野兔的存活率为，10岁—12岁野兔的存活率为。则经过一年后，新生的野兔存活下来的头数为X0；1到10岁的野兔存活下来的头数为X1；10岁——12岁的野兔能存活下来的头数为X2，因此得到第二个方程：
（X0+ X1+ X2）+ X0-622=10000 ②
联立①②得到方程组：
⑴
2、模型的求解
根据近两年来运出的野兔的数量与性别统计表，得到如下分析结果：
（1）计算0岁的野兔头数
由表中统计，1岁—3岁的野兔占1岁—10岁的野兔比例为：（67/620+169/876）/2=15.05%
所以得到：3岁—10岁能生小野兔的母野兔占1岁—10岁的野兔比例为：
（1-15.032%）0.5 =42.48%
因为能生小野兔的母野兔每3个月生一头小野兔，且十胞胎的机会为1.35%，相当于每年生126头 ，所以0岁的野兔占1岁—10岁的野兔比例为：
0.42480.2896=0.12303
这样0岁的野兔共有： =0.12303 ③
（2）计算10岁—12岁的野兔头数

从表中计算运出的9岁的野兔占运出的总野兔比率为：
（14/622+22/876）/2=0.0238
由于运出的野兔都是1岁—10岁的，所以0.0238也可看为9岁的野兔占1—10岁的野兔的头数比例，得到10岁的野兔占的比例为0.0238，由假设可以知道：
10岁—12岁的野兔头数为：
=1/2100.0238X1 ④
10岁——12岁的野兔经过一年能存活下来的头数为：
⑤
（3）、将③⑤和④两个式子代入上面方程组⑴得：

又由假设知道，0岁野兔的存活率为=75%代入上述方程组，然后用Mathematica解之得：

再依次将、代入③⑤和④求得：

所以， 0岁野兔的总头数为1091（头）；1—10岁的野兔的存活率为98.9719%，总头数为8865（头）；10岁—12岁的野兔头数为1091（头）。
把0—10岁的野兔分为八个年龄段，由假设知道，各个年龄段占总数可以用各个年龄段移出的头数除以移出的总头数来衡量。下面以1—10年龄段的野兔头数计算为例：
前一年总共移出622头，其中1—10岁移出为67头；前两年总共移出876头，其中1—10岁移出169头。故1—10年龄段的野兔头数可以这样计算：
==1332（头）
T=0
T=1
T=2
T=3
T=4
T=5
T=6
T=7
T=8
T=9
1
2.31969
4.50853
6.90568
6.00512
5.56495
5.32807
7.56101
8.9392
9.5817
（附表1）

3、结果分析
（1）由结果可以知道，2—10岁野兔的存活率为98.9718%，这与题目给出的大于95%是相一致的，所以可以认为结果是合理的；
（2）从图1可以看出，各个年龄段的野兔所占的比例基本上是一样的，2—3岁和4—7岁的野兔比例相对比较大，因为这段大象正处于年龄的黄金时期。由此，可以认为求出的野兔年龄也是合理的。

估计注射避孕药后野兔数量的变化
首先建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型；然后用Leslie矩阵稳定的充要条件分析如果不进行避孕注射种群的增长情况；最后仍然利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，进而利用一个方程求出每年注射避孕药的母野兔头数。
1、按年龄分组的种群增长的差分方程模型的建立
记时段k第i年龄组的野兔数量为，k=0，1，2，…，i=1，2，…n,第i年龄组的繁殖率为，即第i年龄组每个（母野兔）个体在1个时段内平均繁殖的数量，第i年龄的存活率为，我们这里假设和不随时段k变化，在稳定的环境下这个假设是合理的。和可由统计资料获得。的变化规律由以下的基本事实得到：时段k+1第1年龄组种群数量是时段k各年龄组繁殖数量之和，即

时段k+1第i+1年龄组的种群数量是时段k第i年龄组存活下来的数量，即

记时段k种群按年龄组的分布向量为

由繁殖率和存活率构成的矩阵为

根据Leslie矩阵的性质可以得到如下的定理：
定理1：矩阵有唯一的正特征根，且它是单重根的，对应正特征向量
矩阵的其他n-1个特征根都是满足
该定理表明矩阵的特征方程

只有一个正根，并且易知，
2、如果不进行避孕注射种群的增长情况
（1）建立Leslie矩阵
首先，由第一问的求解知道，0岁的野兔的存活率为0.75；1—10岁野兔的存活率为0.989718；根据假设10—12岁野兔头数是线性递减的，而且到70岁所有的野兔都死完了，所以很容易求出存活率为（1-0.1）=0.90.989718=0.8907；9—10岁野兔的繁殖率为0.1448。
然后根据上面的矩阵L建立起如果不进行避孕注射种群的增长的Leslie矩阵如下所示：
=这是一个7171的矩阵。
（2）讨论的特征根，分析种群增长规律
用Matlab软件求得特征根为R=1.0481，根据定理1知道，如果不进行避孕注射，该野兔种群将无限增长下去（如果环境允许），所以要进行避孕注射。
3、求出每年注射避孕药的母野兔头数
根据Leslie矩阵的性质知道，要保持种群稳定，必须使得特征根r=1，即使得下面式子成立：
⑥
具体到本题来就是使得如下成立：

解这个方程求出要保持野兔种群的稳定，繁殖率应该为=0.0377
保持野兔种群数量不变的繁殖率b0与没采取避孕时的繁殖率b有一定的差距，所以需要避孕掉具有（b- b0）繁殖率母野兔所生的幼象。假设每年要避孕头大象，由于一次注射可以使得一头成熟的母野兔在两年内不会受孕，所以每年实际上共有2头大野兔处于避孕期。
这样根据需要避孕掉具有（b- b0）繁殖率母野兔所生的幼野兔的数目等于注射避孕药使得野兔没有繁殖幼野兔的数目这个条件得到一个方程：

解之得=1393
所以每年注射避孕药的母野兔头数为：1393（头）
4、分析不确定因素的影响
（1）最初一两年避孕母野兔发情期增多，与未避孕母野兔产生竞争求偶的公野兔，使部分能怀孕的母野兔不能怀孕。而避孕的母野兔每月发情一次，会扰乱了正常求偶的母野兔，这样会造成未避孕母野兔的繁殖率出现下降，避孕的母野兔数量应该减少。
（2）随着时间的增长，如果持续使用避孕药，会使野兔的年龄结构发生变化，野兔的结构呈老龄化，所以随着时间的增长，要保证野兔群的稳定，避孕药的使用量必定会逐年减少直至禁用。

模型的评价和改进方法

1、模型的优点
（1） 本文解决问题的模型都是比较简单的，但是这并不影响得到的结果的准确性，因为这些简单的模型都有很强的理论依据；
（2） 在求解第二问的时候，充分利用Leslie矩阵稳定性理论来求解应该让多少母野兔进行避孕注射，这些理论在差分方程中都是经典的理论，经得起许多事实的考验；
（3） 第三问的求解中运用了计算机模拟方法来模拟移出野兔属于哪个年龄段，这样不仅求解方便、简洁（只需要把算法程序写好就可以得到结果），得到的结果与实际也更接近；
（4） 第三问用计算机模拟得到数据后，又用理论去验证，这样使得结果更具有说服力；
2、模型需要改进的地方
（1） 因为假设了野兔性别是严格地1：1关系，而实际中不一定那么地严格是这样，所以如果能够把各个年龄段野兔的性别比例分别计算，那么模型的结果可能更接近实际；
（2） 在进行计算机模拟时，最开始的随机数的产生个数只有几十个，这几十个随机数不能很好的反映各个年龄段的野兔所占的比重，这样势必会对结果造成一定的误差；

参考文献：
1、赵 静 数学建模与数学实验（第2版）[M].北京：高等教育出版社 2003
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5 蒋小安 杨松华 数字建模设计基础 西安：西安电子科技大学 2002

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