拉普拉斯变换及反变换.ppt

,第,*,页,控制工程基础,黄河科技学院,拉普拉斯变换及反变换,一、拉氏变换及其特性,1、拉氏变换定义,如果有一个以时间,为自变量的实变函数,，它的定义域是,，那么,的拉普,拉斯变换定义为,补充知识,重点,式中，,s,是复变数，,（、,均为实数），,称为拉普拉斯积分；,是函数,的拉氏变化，它是一个复变函数，,通常称,为,的象函数，而称,为,的原函数；,L,是表示进行拉氏变换的符号。,拉氏变换是这样一种变换，即在一定的条件下，它能把一实数域中的实变函数,变换为一个在复数域内与之等价的,复变函数 。,1）、典型函数的拉氏变换,（,k,=const）,单位阶跃函数，记作1(t),（1）阶跃函数（位置函数）,（2）斜坡函数（又称速度函数）,（,k,=const）,单位斜坡函数,（3）抛物函数（又称加速度函数）,（,k,=const）,单位抛物函数,（4）单位脉冲函数,重要性质,（5）指数函数,指数增长函数,指数衰减函数,指数增长函数,指数衰减函数,（6）正弦函数,（7）余弦函数,2、拉氏变换的运算法则,（1）线性定理,（2）延迟定理,（3）位移定理,（4）相似定理,（5）微分定理,微分定理推论,特别在零初始条件下,（6）积分定理,当初始条件为零时，则,（7）初值定理,（8）终值定理,（10）,象函数的积分性质,（9）象函数的微分性质,的拉氏变换,的拉氏变换,（11）卷积定理,二、拉氏反变换及其计算方法,式中,表示拉普拉斯反变换的符号,1、拉氏反变换,由象函数求原函数的方法：,方法一：利用拉氏反变换定义求,方法二：查拉氏变换表求解,方法三：,部分分式法,不常用解,对简单的象函数适用,象函数为有理分式函数时适用,2、拉氏反变换的计算方法,应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的一般步骤：,（1）计算有理分式函数,F,（,s,）的极点；,（2）根据极点把,F,（,s,）的分母多项式进行因式分解、并进一步把,F,（,s,）展开成部分分式；,（3）对,F,（,s,）的部分分式展开式两边同时进行拉氏逆变换。,1）当解出 为单根时，对,F(s),作因式分解：,其中,例,解：,（1）,F,（,s,）,的极点,（2）对,F,（,s,）,的分母多项式进行因式分解、并把,F,（,s,）,展开成部分分式,（3）进行拉氏反变换,2）当解出,s,有重根时，对,F(s),作因式分解：,其中,例,解：,3）当解出,s,有共轭复根时，对,F(s),作因式分解：,例,解：,两边同乘以,得,乘共轭,(-1-j2),其中,用MATLAB展开部分分式,p=1 -12 0 25 126,p=,1 -12 0 25 126,设：,在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，系数按降序排列。,如要输入多项式：,x,4,-12x,3,+25x+126,用,num,和,den,分别表示,F,(,s,),的分子和分母多项式，即：,num,=,b,0,b,1,b,m,den,=,a,0,a,1,a,n,MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，其句法为：,r,p,k=residue(num,den),其中，r,p分别为展开后的留数及极点构成的列向量、k为余项多项式行向量。,若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：,若存在,q,重极点,p,(,j,)，展开式将包括下列各项：,例,：求,的部分分式展开。,num=1 11 39 52 26;,den=1 10 35 50 24;,r,p,k=residue(num,den),r=,1.0000,2.5000,-3.0000,0.5000,p=,-4.0000,-3.0000,-2.0000,-1.0000,k=,1,展开式为：,例,：求,的部分分式展开。,num=1 0 0 10 5 6;,den=1 5 9 7 2;,r,p,k=residue(num,den),r=,-4.0000,20.0000,-20.0000,10.0000,p=,-2.0000,-1.0000,-1.0000,-1.0000,k=,1 -5,展开式为：,num,den=residue(r,p,k),函数 residue 也可用于将部分分式合并，其句法为：,r=1 2 3 4;p=-1-2-3-4;k=0;,num,den=residue(r,p,k),num=10 70 150 96,den=1 10 35 50 24,例,：,应用拉氏变换解线性微分方程,求解步骤,将微分方程通过拉氏变换变为,s,的代数方,程；,解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表,达式；,应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,原函数,（微分方程的解）,象函数,微分方程,象函数的,代数方程,拉氏反变换,拉氏变换,解,代,数,方,程,拉氏变换法求解线性微分方程的过程,解,：对微分方程左边进行拉氏变换：,实例,设系统微分方程为：,若,x,i,(,t,),=1(,t,)，初始条件分别为,x,o,(0)、,x,o,(0)，试求,x,o,(t)。,即：,对方程右边进行拉氏变换：,从而：,应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始,条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式,中，因此，不需要根据初始条件求积分常数,的值就可得到微分方程的全解。,如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏,变换可以简单地用,s,n,代替,d,n,/,dt,n,得到。,由上述实例可见：,系统响应可分为两部分：零状态响应和零输,入响应,所以：,查拉氏变换表得：,当初始条件为零时：,零状态响应,零输入响应,