高三数学轨迹方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,2010,届高考数学复习,强化双基系列课件,1,.,77,圆锥曲线,轨迹方程,2,.,基本知识概要：,一、求轨迹的一般方法：,1,直接法,：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含,x,y,的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。,2,定义法：,运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。,3,.,3.,代入法,：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点,P(x,y,),却随另一动点,Q(x,，,y),的运动而有规律的运动，且动点,Q,的轨迹为给定或容易求得，则可先将,x,y,表示为,x,y,的式子，再代入,Q,的轨迹方程，然而整理得,P,的轨迹方程，代入法也称相关点法。,4.,参数法,：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使,x,y,之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。,4,.,5.,交轨法,：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。,6.,几何法,：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。,7.,待定系数法,：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求,.,8.,点差法,：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个 端点设为,并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。,5,.,二、注意事项：,1,直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；代入法要设法找到关系式,x=f(x,y),y=g(x,y,);,参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。,2,要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。,6,.,典型例题选讲,7,.,一、直接法题型：,例,1,已知直角坐标系中，点,Q,（,2,，,0,），圆,C,的方程,为,，动点,M,到圆,C,的切线长与 的,比等于常数 ，求动点,M,的轨迹,。,说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。,练习：（待定系数法题型）,在,中，,，且,的面积为,1,，建立适当的坐标系，求以,M,，,N,为焦点，且过点,P,的椭圆方程。,8,.,二、定义法题型：,例,2,如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿,AP,、,BP,运到,P,处，其中,AP=100m,，,BP=150m,，,APB=600,，问怎能样运才能最省工？,练习,：已知圆,O,的方程为,x2+y2=100,点,A,的坐标为（,-6,，,0,），,M,为圆,O,上任一点，,AM,的垂直平分线交,OM,于点,P,，求点,P,的方程。,9,.,三、代入法题型：,例,3,如图，从双曲线,x2-y2=1,上一点,Q,引直线,x+y,=2,的垂线，垂足为,N,。求线段,QN,的中点,P,的轨迹方程。,练习,：已知曲线方程,f(x,y,)=0.,分别求此曲线关于原点，关于,x,轴，关于,y,轴，关于直线,y=x,，关于直线,y=-x,，关于直线,y=3,对称的曲线方程。,10,.,四、参数法与点差法题型：,例,4,经过抛物线,y2=2p(x+2p)(p0),的顶点,A,作互相垂直的两直线分别交抛物线于,B,、,C,两点，求线段,BC,的中点,M,轨迹方程。,五、交轨法与几何法题型,例,5,抛物线,的顶点作互相垂直的两弦,OA,、,OB,，求抛物线的顶点,O,在直线,AB,上的射影,M,的轨迹。（考例,5,）,说明：,用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。,11,.,六、点差法：,例,6,（,2004,年福建，,22,）如图，,P,是抛物线,C,：,上一点，直线,过点,P,且与抛物线,C,交于另一点,Q,。若直线 与过点,P,的切线垂直，求线段,PQ,中点,M,的轨迹方程。（图见教材,P129,页例,2,）。,说明：,本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。,12,.,小结,13,.,一、求轨迹的一般方法：,1,直接法，,2,定义法，,3,代入法，,4,参数法，,5,交轨法，,6,几何法，,7.,待定系数法，,8.,点差法。,二、注意事项：,1,直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式,x=f(x,y),y=g(x,y,);,参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。,2,要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。,14,.,课 前 热 身,15,.,y=,0(,x,1),1.,动点,P,到定点,(-1,，,0),的距离与到点,(1,，,0),距离之差为,2,，则,P,点的轨迹方程是,_.,2.,已知,OP,与,OQ,是关于,y,轴对称，且,2,OPOQ,=1,，则点,P(x,、,y),的轨迹方程是,_,3.,与圆,x,2,+y,2,-,4,x=,0,外切，且与,y,轴相切的动圆圆心的轨迹方程是,_.,-,2,x,2,+y,2,=,1,y,2,=,8,x(x,0,),或,y=,0,(x,0,),16,.,4.,ABC,的顶点为,A,(0,，,-2),，,C,(0,，,2),，三边长,a,、,b,、,c,成等差数列，公差,d,0,；则动点,B,的轨迹方程为,_,_,.,5.,动点,M(x,y),满足,则点,M,轨迹是,(),(A),圆,(B),双曲线,(C),椭圆,(D),抛物线,返回,D,17,.,6.,当,0,/2,时，抛物线,y=x,2,-4xsin-cos,2,的顶点的轨迹方程是,_,7.,已知线段,AB,的两个端点,A,、,B,分别在,x,轴、,y,轴上滑动，,|AB|=,3,，点,P,是,AB,上一点，且,|AP|=,1,，则点,P,的轨迹方程是,_,8.,过原点的动椭圆的一个焦点为,F,(1,，,0),，长轴长为,4,，则动椭圆中心的轨迹方程为,_,X,2,=-2y-2,18,.,返回,9.,已知,A+B+C=0,，则直线,Ax+By+C=0(A,、,B,、,CR),被抛物线,y2=2x,所截线段中点,M,的轨迹方程是,(),(A)y2+y-x+1=0,(B)y2-y-x+1=0,(C)y2+y+x+1=0,(D)y2-y-x-1=0,B,19,.,能力,思维,方法,【解题回顾】求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性化简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者要挖去多余的点,.“,轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程,(,包括范围,),1.,设动直线,l,垂直于,x,轴，且与椭圆,x,2,+,2,y,2,=,4,交于,A,、,B,两点，,P,是,l,上满足,PAPB=,1,的点，求点,P,的轨迹方程,20,.,【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意,x,的取值范围的求法,.,利用数量积的定义式的变形可求得相关的角或三角函数值,.,2.,已知两点，,M,(-1,，,0),，,N,(1,，,0),，且点,P,使,MP,MN,，,PMPN,NMNP,成公差小于零的等差数列，,(1),求点,P,的转迹方程,.(2),若点,P,坐标为,(,x,0,y,0,),，若,为,PM,与,PN,的夹角，求,tan,.,21,.,【解题分析】本例中动点,M,的几何特征并不是直接给定的，而是通过条件的运用从隐蔽的状态中被挖掘出来的,3.,一圆被两直线,x+,2,y=,0,，,x-,2,y=,0,截得的弦长分别为,8,和,4,，求动圆圆心的轨迹方程,22,.,【解题回顾】此题中动点,P,(x,y),是随着动点,Q(x,1,y,1,),的运动而运动的，而,Q,点,在已知曲线,C,上，因此只,要将,x,1,，,y,1,用,x,、,y,表示后,代入曲线,C,方程中，即可得,P,点的轨迹方程,.,这种求轨迹的方法称为相关点法,(,又称代入法,).,4.,点,Q,为双曲线,x,2,-,4,y,2,=16,上任意一点，定点,A,(0,，,4),，求内分,AQ,所成比为,12,的点,P,的轨迹方程,23,.,5.,M,是抛物线,y,2,=x,上一动点，以,OM,为一边,(,O,为原点,),，作正方形,MNPO,，求动点,P,的轨迹方程,.,【解题回顾】再次体会相关,点求轨迹方程的实质，就是,用所求动点,P,的坐标表达式,(,即含有,x,、,y,的表达式,),表示,已知动点,M,的坐标,(,x,0,y,0,),，,即得到,x,0,=,f(x,y),，,y,0,=,g(x,y),，,再将,x,0,y,0,的表达式代入点,M,的方程,F(x,0,y,0,)=,0,中，即得所求,.,24,.,6.,过椭圆,x,2,/9+,y,2,/4=1,内一定点,(1,，,0),作弦，求诸弦中点的轨迹方程,【解题回顾】解一求出 后不必求,y,0,，直接,利用点,P(x,0,y,0,),在直线,y=k(x-,1,),上消去,k,.,解二中把弦的两端点坐标分别代入曲线方程后相减，则弦的斜率可用中点坐标来表示，这种方法在解有关弦中点问题时较为简便，但是要注意这样的弦的存在性,25,.,【解题回顾】本题由题设,OM,AB,、,OA,OB,及作差法求直线,AB,的斜率，,来寻找各参数间关系，利用代换及整体性将参数消去从而获得,M,点的轨迹方程,.,7.,过抛物线,y,2,=,4,x,的顶点,O,作相互垂直的弦,OA,，,OB,，求抛物线顶点,O,在,AB,上的射影,M,的轨迹方程,.,返回,26,.,延伸,拓展,【解题回顾】,(1),本小题是由条件求出定值，由定值的取值情况，由定义法求得轨迹方程,.,(2),本小题先设点的坐标，根据向量的关系，寻找各变量之间的联系，从中分解主变量代入并利用辅助变量的范围求得,的范围,1.,已知动点,P,与双曲线,x,2,/2,-y,2,/3=1,的两个焦点,F,1,、,F,2,的距离之和为定值，且,cos,F,1,PF,2,的最小值为,-,1/9.,(1),求动点,P,的轨迹方程；,(2),若已知,D,(0,，,3),，,M,、,N,在动点,P,的轨迹上且,DM=DN,求实数,的取值范围,.,返回,27,.,【解题回顾】本小题充分利用了三角形垂心这一已知条件由,AD,BC,得,A,、,D,坐标相同,.,由,BH,AC,建立等量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。,返回,2.,在,ABC,中，已知,B,(-3,，,0),，,C,(3,，,0),，,AD,BC,于,D,，,ABC,的垂心,H,分有向线段,AD,所成的比为,1/8.,(1),求点,H,的轨迹方程；,(2),设,P,(-1,，,0),，,Q,(1,，,0),那么 能成等差数列吗,?,为什么,?,28,.,再见,29,.,