北师大版-证明(二)复习.doc

证明（二） 复习
一、梳理知识：
1、全等三角形
（1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形。
（2）性质：全等三角形的 、 相等。
（3）判定：“SAS”、 、 、 、 。
2、等腰三角形
（1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形。
（2）性质：①等腰三角形的 相等。（“等边对等角”）
②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。( )
③等腰三角形是 图形。
（3）判定：①定义 ②“ ”　
（4）等边三角形 定义： 的三角形是等边三角形。
性质：①三角都等于 ②具有等腰三角形的一切性质。
判定：①定义 ②有一个角 是等边三角形。　　　
3、直角三角形
（1）定义：有一个角是 的三角形是直角三角形。
（2）性质：①“勾股定理” 。
②直角三角形两锐角 。
③直角三角形斜边上的中线等于 。
④在直角三角形中，30°角所对直角边 等于 。
（3）判定：①定义 ②两锐角 的三角形是直角三角形
③“勾股定理逆定理” 。
4、角平分线
（1）定义： 。
（2）性质：①角平分线上的点 相等。
②三角形的三条角平分线 ，且到 相等。
（3）判定：到角的两边 的点，在这个角的平分线上。
5、线段的垂直平分线
（1）定义： 一条线段的 叫线段的垂直平分线。
（2）性质：①线段垂直平分线上一点 相等。
②三角形三边的垂直平分线 ，且到 相等。
（3）判定：到一条线段两个端点 的点，在这条线段的垂直平分线上。
二、典型习题：
一、选择题
1、到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（ ）
A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点 D.三边中垂线的交点
2、已知等腰三角形的两边长分别为4㎝和2㎝，则其周长是（ ）
A. 6㎝ B. 10㎝ C. 10㎝或8㎝ D. 8㎝
3、下列两个三角形中，一定全等的是 （ ）
（A）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形 （B）两个等边三角形
（C）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形
（D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形

4、如图，在△ＡＢＣ，∠Ｃ＝90°，∠Ｂ＝15°，ＡＢ的中垂线ＤＥ交ＢＣ于Ｄ，Ｅ为垂足，若ＢＤ＝10ｃｍ，则ＡＣ等于（　　）
Ａ．10ｃｍ　 　Ｂ．8ｃｍ 　Ｃ．5ｃｍ　 Ｄ．2．5ｃｍ

5、如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝30°，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＤ＝3ｃｍ，则AC的长等于（　　）
Ａ． ｃｍ Ｂ． ｃｍ Ｃ． ｃｍ　 Ｄ．ｃｍ

6、等边三角形的高为2，则它的边长为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.5
7、一个等腰三角形底边的长为5，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3 ，则腰长为 （ ）
（A） 2 （B） 8 （C）2 或8 （D） 10
8、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（ ）
A.5 cm B.6 cm C. cm D.8 cm
9、下列定理中逆定理不存在的是（ ）
A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等
B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等
C.同位角相等，两直线平行
D.全等三角形的对应角相等
10、已知△ABC中，∠A ＝n°，角平分线BE、CF相交于O，则∠BOC的度数应为（　　）
（A）90°－° （B）90°＋ ° （C）180°－n° （B）180°－°

二、填空题
1、如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是 度.
2、在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，AB＝3，AC＝4，则AD＝ ；

3、已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC = 10 cm，则△ODE的周长 .
4、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为 .
5、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是 ．
6、在△ABC中，已知AB＝AC，AD是中线，∠B＝70°，BC＝15cm， 则∠BAC＝ ， ∠DAC＝ ，BD＝ cm；
7、在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏，要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，试想想凳子应放在△ABC的三条　　　　　　　　　　　　线的交点最适当．
8、一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.
9、等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是_______________，这个逆命题是_________命题.
10、等腰三角形的腰长为5cm,底边长为6cm,则它的高是 .
三、解答题

1、已知：如图，AB＝AC，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，求证：BD＝CE.

2、已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.求证：D在∠BAC的平分线上.

3、已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE.
证明：在△AEB和△AEC中，

∴△AEB≌△AEC(第一步)
∴∠BAE=∠CAE(第二步)
问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程。

4.已知：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE＝CD，连　　结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．求证：BP＝2PQ.

4