自主招生能量和动量选析选练.doc

大学自主招生物理能量和动量试题选析选练

自主招生考试中能量与动量部分所涉及的知识点有：功与功率、动能定理、能量守恒定律、动量与冲量、动量定理、动量守恒。
一．功与功率
自主招生考试对“功和功率”的要求与高考的要求基本是一致的，增加的知识点是求变力功。
1．功
功是描述质点受力作用时位置变化过程中力的累积效应。定义式为：。
功的定义式只适用于恒力对物体做功的计算。变力功一般可通过以下途径求出：（1）应用动能定理或功能关系求功；（2）图像法求功，即作出F-s图像，图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功，对于热学中的P-V图，图线与坐标轴围成的面积表示压强做功；（3）微元法求功，即将整个过程分成若干微小过程，每个过程为恒力功，再累积起来即可。
2．功率
功率是表示物体做功快慢的物理量。
（1）表达式表示对物体做功的力在t时间内的平均功率，结合W=Fscosa可得，功率为标量。

【例1】边长为10cm的正方形木块（密度为0.5g/cm3）浮在有水的杯中，杯的横截面积为200cm2，水的密度是1g/cm3，平衡时杯内水深10cm，g取10m/s2，用力使木块慢慢沉到杯底，外力所做的功为（）
A．J B. J C.J D. J

x/cm
F/N
0
2.5
5.0
5
解析：木块受力始终平衡，但由于浮力开始阶段变化，所以外力是变力。设木块完全沉到杯底时水深为h，

解得：h=12.5cm
施加的外力与位移的关系如图所示。其中
N
故J
故选答案C。

【例2】心脏是血液循环的动力装置。心脏中的右心房接收来之于全身的静脉血，经过心脏瓣膜进入右心室，再通过右心室的压缩进入肺动脉。肺动脉把静脉血输入肺脏，进行氧和二氧化碳的交换后，富含氧气的动脉血通过肺静脉流回心脏的左心房，再进入左心室，通过左心室的压缩，动脉血通过主动脉和通往身体各部位的大动脉被输送到全身的毛细血管。正常成年人在安静时心跳频率平均为每分钟75次，主动脉收缩压平均为120mmHg，肺动脉收缩压为主动脉的1/6。在左、右心室收缩前，心室中的血液压强接近于零（相对于大气压强）。心脏中的左、右心室在每个搏动周期的血液搏出量均约为70ml。试估算正常成年人心脏的功率。（1大气压=，全血的比重为，主动脉、肺动脉内径~20mm，在一个心脏搏动周期中左、右心室收缩时间约为0.2s）

解析：（1）心脏在一个脉动周期内左心室收缩压出血液所做的压强功为

（2）心脏在一个脉动周期内右心室收缩压出血液所做的压强功为

（3）心脏在一个脉动周期内，左、右心室压缩出的血液所具有的动能为

（4）心脏功率

二．动能定理、能量守恒定律
自主招生考试对该部分内容的要求在高考的基础上，还需要考生对引力势能有较深入的理解。
1．动能定理
动能定理的表达式为．等式的左侧是所有外力做功的代数和，可以含恒力功，也可以含变力功；可以是各力同时做功，也可以是不同阶段做功的和，计算时注意每个力做功的正负。等式的右侧是物体动能的增量，必须是末动能减初动能。其中的等号反映了功和能的内在联系。
2．与机械能相关的几种势能
（1）重力势能：Ep=mgh，一般以地面为零势面；
（2）弹性势能：，一般取弹簧无形变的位置为零时能点；
（3）引力势能：对于半径为R的均匀球体M和距球心为r的指点m构成的系统，以无穷远为引力势能零点，引力势能表示为
（r≥R）
（r<R）
3．机械能守恒
当只有系统内部的保守力（引力，弹簧弹力）做功时，系统内部的动能和势能相互转化，机械能的总量保持不变。
4．功能关系
“功是能量转化的量度”其含义：一是力对物体做功必然引起物体能量的转化，所以做功的过程也是能量转化或转移的过程；二是力对物体做了多少功就有多少能量转化，反之转化了多少能量，说明力对物体做了多少功。这实质是“能量守恒定律” 的另一种描述。

【例3】（南大06）绳长为L，两接点间距为d，士兵装备及滑轮质量为m，不计摩擦力及绳子质量，士兵从一端滑到另一端过程中。求：
⑴士兵速度最大值vmax？
⑵士兵速度最大时绳上的张力？
⑶士兵运动的轨迹方程？

x
y
o
解析：（１）士兵的机械能守恒，速度最大时必然重力势能最小，故士兵在最低点（正中间）处速度最大。由机械能守恒：

由几何关系及已知可得
速度的最大值
（２）最低点士兵具有向心加速度。设该处的速度为，曲率半径为R。
最低点:

其中, （请自行代入）
⑶绳子两端固定，所以可知士兵作椭圆轨道运动，建立坐标如图可得士兵运动的轨迹方程：

即；，y＞0

【例4】（上海交大07）质量为m的行星在质量为M的恒星引力作用下，沿半径为r的圆轨道运行。要使该行星运行轨道半径增大1%，外界要做多少功？（行星在恒星引力场中的势能为，其中G为万有引力常量）
解析：行星在公转轨道上的机械能由运行的动能和引力势能组成。
先求动能：

得到：
行星的机械能
根据功能原理，外界做功

即外界需要做正功，行星才能跃迁到能量更高的轨道上去。读者可以类比玻尔的原子跃迁理论，有相似之处。

三．动量、冲量和动量定理
1．冲量是描述力在时间上的积累效果的物理量，冲量是过程量，I=Ft。
2．动量是描述物体某时刻运动状态的物理量，动量是状态量，p=mv。
3．动量定理表达式：FΔt=Δp。式中FΔt指的是合外力的冲量或过程中物体所受各力冲量的矢量和，Δp指的是动量的增量，Δp一定与合外力冲量I方向相同。

【例5】（清华09）一质量为m、长为l的柔软绳自由悬垂，下端恰好与一台秤的秤盘接触。某时刻放开柔软绳上端，求台秤的最大读数。

解析：设柔软绳的线密度为λ，则
t时刻落到秤盘的绳长为x，此时空中的绳速为

在时间内，又有的绳落到秤盘上，对Δm而言，忽略它自身重力的冲量，由动量定理

即：
故
所以当柔软绳全部落在秤盘上时，秤盘的读数最大，为3mg。

四．动量守恒、碰撞
1．动量守恒定律
由几个相互作用的物体组成的系统，若系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。表达式为m1v1+m2v2=，守恒式两边不仅大小相等，且方向相同，等式两边的总动量是系统内所有物体动量的矢量和。在自主招生考试中，不仅考察一维的动量守恒，还考察平面内二维的动量守恒问题。
2．碰撞
碰撞过程是指物体间发生相互作用的时间很短，相互作用过程中的相互作用力很大，所以通常可认为发生碰撞的物体系统动量守恒。按碰撞前后物体的动量是否在一条直线上，有正碰和斜碰之分，中学物理只研究正碰的情况；碰撞问题按性质分为三类。
（1）弹性碰撞——碰撞结束后，形变全部消失，碰撞前后系统的总动量相等，总动能不变．
（2）一般碰撞——碰撞结束后，形变部分消失，碰撞前后系统的总动量相等，动能有部分损失．
（3）完全非弹性碰撞——碰撞结束后，形变完全保留，通常表现为碰后两物体合二为一，以同一速度运动，碰撞前后系统的总动量相等，动能损失最多．
上述三种情况均不含其它形式的能转化为机械能的情况

【例6】一质量为m，以速率v0运动的粒子，碰到一质量为2m的静止粒子。结果质量为m的粒子偏转了45°，并具有末速度v0/2，求质量为2m的粒子偏转后的速率和运动方向。

解析：设m碰撞前的运动方向为x轴正方向，碰撞后其速度y分量方向为y轴正方向，则根据动量守恒定律，有
x方向
y方向
解得，
所以
与x轴的夹角

【例7】v0
v0
A
B
（北大08）水平光滑大桌面上有一质量为M的均匀圆环形细管道，管道内有两个质量同为m的小球，位于管道直径A、B的两端。开始时，环静止，两个小球沿着朝右的切线方向，具有相同的初速度v0，如图所示，设系统处处无摩擦。
（1）当两个小球在管道内第一次相碰前瞬间，试求两个小球之间的相对速度大小；
（2）设碰撞是弹性的，试分析判定两小球碰后能否在管道内返回到原来的A、B位置。

解析：对于管道和两个小球，它们受到的合外力为零，设两个小球第一次相碰时管道的速度为v2，根据对称性，两个小球一定圆环的最右端点相碰，此时设小球相对管道的速度为，根据动量守恒：
在水平向右的方向上：
根据机械能守恒：
联立解得：
两球的相对速度为
（2）当两球在管道最右端发生弹性碰撞时，因为二者质量相同，所以彼此交换y方向的速度。根据对称性，两球碰后能够返回到原来的位置A、B。

真题选练：

1．（同济06）如果物体在任意相同的时间内受到的冲量相同，则此物体的运动（）
A.物体可能做上抛运动 B.物体可能做平抛运动
C.物体可能做匀速圆周运动 D.物体可能做简谐运动

2．（10清华5校）在光滑的水平桌面上有两个质量均为m的小球，由长度为 2l的拉紧细线相连。以一恒力作用于细线中点，恒力的大小为F，方向平行于桌面。两球开始运动时，细线与恒力方向垂直。在两球碰撞前瞬间，两球的速度在垂直于恒力方向的分量为（）
A． B． C．2 D．

S1
S2
Δx1
Δx2

3．（上海交大05）如图11为体积不可压缩流体中的一小段液柱，由于体积在运动中不变，因此当S1面以速度v1向前运动了Δx1时，S2面以速度v2向前运动了。若该液柱前后两个截面处的压强分别为P1和P2，利用功能关系证明流体内流速大的地方压强反而小。（忽略重力的作用及高度的变化）

4．(清华09)如图所示，甲、乙两个小球分别固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的水平固定转动轴，且OA=OB=L，系统平衡时，OA与竖直方向的夹角为37o.
（1）求甲、乙二球的质量之比mA/mB；
（2）若将直角尺顺时针缓慢转动到OA处于水平后由静止释放，求开始转动后B球可能达到的最大速度和可能达到的最高点。

5．（10清华5校）卫星携带一探测器在半径为 3R（R为地球半径）的圆轨道上绕地球飞行。在a点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）。若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点b距地心的距离为nR（n略小于3），求卫星与探测器的质量比。（质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能为−GMm/r，式中G为引力常量）

6．（南大06）在光滑的水平面上有一带有光滑圆弧轨道的斜面，质量为m，圆弧轨道半径为R，圆心角为60°；一质量也为m的物体以v0向斜面运动。
⑴求速度v0的范围,使物体不能飞出轨道；
⑵求当时，物体脱离圆弧轨道时斜面的速度大小；
⑶求当时，物体能到达的最大高度。

参考答案:
1解.析：如果物体在任意相同的时间内受到的冲量相同，则此物体一定受到恒力力作用，所以选择AB。
2.解析：设两球的速度沿恒力方向的分量为vx，在垂直于恒力方向的分量为vy，在两球碰撞前瞬间，两球的速度的两个分量大小相等，即vx=vy，恒力F的位移为 2l，由动能定理得

所以，即答案B正确。
3. 解析：考虑一薄层水柱，其质量，由位置1流到位置2，有：

其中，，
考虑到液体不可压缩同时不中断

联立可得：
由此说明流体内流速大处压强反而小。
注意：如果考虑势能的影响，则=C（恒量）。实际上就是理想流体的伯努利方程。
解析：（１）由力矩平衡
Δh
，得
（２）直角尺回到原平衡位置时，B球速度最大，即：

解得

末状态对应球速为0，如图所示

即：
得θ＝16.20
B球在O点上方
5. 解析：设地球质量为M，卫星质量为m，探测器质量为m'，当卫星与探测器一起绕地球做圆周运动时，由万有引力定律和牛顿第二定律得
（1）
（2）
设分离后探测器速度为 v´，探测器刚好脱离地球引力应满足
（3）
（4）
设分离后卫星速度为 u，由机械能守恒定律可得
（5）
由开普勒第二定律有
nRv近=3Ru（6）
（5）、（6）联立解得
（7）
由分离前后动量守恒可得
（8）
联立（4）（7）（8）式得

6. 解析：（1）光滑的水平面上有物体m和斜面体m，物体m以v0速度向斜面运动。当物体速度v0足够小，例如接近了零，那么物体就冲不上斜面，它就不可能飞出轨道。当物体m的速度v0足够大，那么物体m就会飞出斜面。设物体飞出斜面体时临界值为v，这样物体m刚刚运动到斜面最高点且和斜面有共同速度v共。
由动量守恒定律：
，解得
由机械能守恒定律：

解得
所以物体m不飞出斜面轨道的运动速度v0范围为：0＜v0≤
⑵当时大于临界值,所以物体将飞出斜面体。设物体脱离斜面时斜面体的速度为，方向水平向右。物体飞离斜面体时相对斜面的速度为，方向与斜面体末端相切。
设物体的竖直速度为，由水平方向动量守恒可得：
①
由系统机械能守恒：
②
①②联立得到： ③
解得或
代入③后舍去，所以物体脱离斜面时斜面体的速度为,
⑶物体脱离斜面体时的竖直速度
根据竖直上抛公式：，物体能达到的最大高度