数列的通项公式和求和法.doc

专题一：数列通项公式的求法详解
一、 观察法（关键是找出各项与项数n的关系.）
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…（2）
（3）（4）
答案：（1） （2） （3） （4）.
二 公式法1：特殊数列
例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；
答案：an=a1+(n－1)d = 2(n－1)； bn=b·qn－1=4·(－2)n－1
例3. 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ ）
(A) (B) (C) (D)
例4. 已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式
简析：由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列，易得.点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.
公式法2： 知利用公式 .
例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.
（1）. （2）
答案：（1）=3，（2）
点评：先分n=1和两种情况，然后验证能否统一.

三 累加法(逐差相加法) 递推公式为
解法：把原递推公式转化为，利用累加法求解。
简析：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
② 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得
例6：已知的首项，（）求通项公式。
解： ……

∴
例7. 若在数列中，，，求通项 .答案：=
例8. 若在数列中，，，求通项 .
例9已知数列满足，，求此数列的通项公式
答案：
四 累乘法(逐商相乘法) 递推公式为
（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=. （2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
例10：在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式。
解：由(n+1)·=n·得，
=··…= 所以
点评：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当（相乘）的值可以求得时，宜采用此方法。
由和确定的递推数列的通项可如下求得：
练习：1 已知数列中，，前项和与的关系是 ，试求通项公式. . 答案：
2已知,求数列{an}的通项公式.
分析：原式化为 令,则题转化为形式累积得解.

五、构造特殊数列法（三个类型）
类型1 递推公式为（其中p，q均为常数，）
解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
例11. 已知数列中，，，求数列的通项公式。
解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,
所以.
类型2 递推公式为（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数）
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：。
引入辅助数列（其中），得：再应用 类型1的方法解决。
例12. 已知数列中，,，求数列的通项公式。
解：在两边乘以得：令，则,应用例11解法得： 所以
类型3 递推公式为（其中p，q均为常数）。
解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面 类型1的方法求解。
例13. 已知数列中，,,，求数列的通项公式。
解：由可转化为
即或，这里不妨选用（当然也可选用，），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用累加法，即 所以。
类型4 倒数为特殊数列【形如】
例14： 已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式.
由已知得：，。∴为等差数列，，公差为1，∴， 所以
六、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】
例15：数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式.
解析：由题得 ①
时，② 由①、②得.
练习 数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式
七、待定系数法：
例16：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn
解：设
点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、ｃ为常数），若数列为等比数列，则，。
例17. 已知数列中，；数列中，。当时，, ，求数列、的通项公式。
解：因
所以 即…（1） 又
所以…….
即…（2）由（1）、（2）得：，

专题二：数列求和方法详解（六种方法）
一、公式法
很多求和问题可以利用(等差、等比)数列的前n项和公式解决,在具体问题中记住并熟练应用下列几个常用公式：
①; ②;③
④; ⑤
例18: 已知数列的通项公式为,求其前n项和
解:

二 倒序相加法
此法是在推导差数列的前n项和公式时所用的方法，
相加
例19:已知，则
由
∴原式
练习 求的值 . 答案S＝44.5
三、错位相减法
方法简介：此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例20] 求和：………………………①()
解析：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}与等比数列{}之积：
设…………………②
①－②得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：
.∴ .
练习：求数列前n项的和. 答案：

四、分组法求和
方法简介：把一不能直接求和的数列的每一项分解成几个可以求和的新数列，分别求和.
例21：已知数列的通项公式为,求其前n项和
解:
+（）=
此方法常用于解形如数列的前n项和(其中是等差数列,是等比数列).
五、裂项相消法
方法简介把数列的每一项拆为两项之差,求和时使大部分项能“正”、“负”相消, 变为求有限几项的和.常用裂项公式为：
①; ②;
③ ⑤。
④;
例22 （1） 求和=
解:
（2）已知数列的通项公式为，求其前n 项和
解:
＝
分析 利用裂项相消法求和时可直接从通项入手,并且要判断清楚消项后余下哪些项.此方法常用于解形如数列的前n项和(其中是等差数列)
六、变换法 利用转化思想将其求和问题转化为等差、等比求和题或利于求和式的题目。
例23 :求数列的前n项和.
解:若,则
若,

=
6