线性代数 第一章总结.doc

第一章 行列式

线性方程组的求解是线性代数的一个重要课题。行列式是由研究线性方程组产生的，它是一个重要的数学工具，它在数学及其他学科中都有着广泛的应用。
本章的教学基本要求：了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的方法，会计算简单的n阶行列式。理解和掌握克拉默（Cramer）法则。
本章的重点及难点：利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的值，主要是三阶、四阶行列式的计算；利用克拉默法则求解线性方程组。

§ 1 二阶、三阶行列式
一、内容提要
1．二阶行列式的定义

其中称为行列式的元素，的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下标称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第j列。
二阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，二阶行列式的展开式可以用所谓对角线法则得到，即：
=
其中，实线上两个元素的乘积带正号，虚线上两个元素的乘积带负号，所得两项的代数和就是二阶行列式的展开式。
2．三阶行列式的定义

三阶行列式的展开式也可以用对角线法则得到，三阶行列式的对角线法则如下图所示：

其中每一条实线上三个元素的乘积带正号，每一条虚线上三个元素的乘积带负号，所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式。
二、例题分析
例1 求解二元线性方程组

解： 由于系数行列式
，
所以方程组有唯一解为： ， 。
例2 计算行列式
解

例3 计算行列式
；； ；
解： 由对角线法则有： ；；
；
特别地: ；
三、小结
对角线法则只适用与二阶与三阶行列式的计算。
由例3得结论：
（1）上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积。
（2）对角行列式等于主对角线上元素的乘积。

§ 2 全排列及其逆序数
一、内容提要
排列 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列，简称排列.

n 个不同元素的所有排列的种数，通常用表示.
。
逆序 在一个排列中，若，则称这两个数组成一个逆序.
逆序数 排列中，所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为。
排列中，考虑元素，如果比大的且排在前面的元素有个，则称元素的逆序数是。记为。
奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列。
偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
特别地，标准排列1，2，···，n的逆序数。
规定，标准排列是偶排列。
二、例题分析
排列中，考虑比大，且排在前面的元素的个数，就可以排列的逆序数。即
（前面比大的数的个数）+（前面比大的数的个数）+ ···
··· + （前面比大的数的个数）
；
同样，考虑比小，且排在后面的元素的个数，就可以排列的逆序数。即
（后面比小的数的个数）+（后面比小的数的个数）+ ···
··· + （后面比小的数的个数）。
例4 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）5 3 2 1 4； （2）n (n–1) ···2 1； （3）(2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) ··· ( k+1) k。

解：（1）5 3 2 1 4
，，，，。
因此，。此排列为奇排列。
（2）n (n–1) ···2 1
，，，···，，，。
因此，。
当时，排列为偶排列；
当时，排列为奇排列。
（3）(2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) ··· ( k+1) k
， ， ，
， ，
······， ······，
， ， 。
因此，
。
当k为偶数时，排列为偶排列；
当k为奇数时，排列为奇排列。
例5 设的逆序数为k，问排列的逆序数是多少？
解：若在排列中，后面比小的数共有个，则在排列中，前面的数共有个，前面比大的数共有个。由已知有
。
所以排列的逆序数为

。
三、小结
求排列的逆序数的方法：
（1）（前面比大的数的个数）+（前面比大的数的个数）+ ···
··· + （前面比大的数的个数）
；
（2）（后面比小的数的个数）+（后面比小的数的个数）+ ···
··· + （后面比小的数的个数）。

§ 3 n阶行列式的定义
一、内容提要
由n2个元素组成的记号

称为n阶行列式。其值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，各项的符号是：当这一项中的n个元素的行标排成标准排列后，若对应的列标构成的排列为偶数，则取正号；若对应的列标构成的排列为奇数，则取负号，即
。
行列式简记为。
一阶行列式为。
n阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，
二、例题分析
例6 判别和是否为六阶行列式中的项。
分析：判别是否为n阶行列式中的项，要考虑：
（1）n个元素是否位于不同行，不同列；
（2）确定其符号。
解： 不是六阶行列式中的项。
这是因为，与都位于第6列。
是六阶行列式中的项。
首先，中的6个元素位于不同行，不同列；再有，
。
确定其符号：，因此，应带负号。
N阶行列式的展开式是n!项的代数和，每项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积。因此，对于含零元素较多的行列式，可直接用定义计算。但对于一般性的行列式，常用后面将要学到的性质与定理进行简化计算。
对于含零元素较多的行列式，用定义计算时，只需求出所有非零项，并进行代数和即可。
例7 计算行列式 。
解：这是一个4阶行列式。其展开式中项的一般形式为。
若，则，从而。所以，只有才可能不为零。
同理，要使，必须，，。
即行列式的展开式中不为零的项仅为。因此，
。
例8 计算行列式
。
解：这是一个1998阶行列式。
显然，在所有取自不同行不同列的1998个元素乘积中，只有

因此，

。
例9 利用行列式定义，证明
。
证：由行列式定义知其值是n!项的代数和，每项是不同行不同列的n个元素的积。上述行列式中，除主对角元素乘积一项是奇数1外，其余各项（共n! -1项）的每项中至少有一个2，故均是偶数。n! –1个偶数之代数和仍是偶数。再和1相加，不可能是零。因此
。
三、小结
1．行列式的实质是一种特定的算式，计算结果是一个数；
2．n阶行列式的展开式是n!项的代数和，每项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积；
3．项前面的符号为；
4．对角线法则不适用于四阶及四阶以上的行列式展开式；
5．几个常用行列式结果：
（1），
（2），
（3）。

§ 4 对 换
一、内容提要
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。
定理1 一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。
定理2 n 阶行列式也可定义为
。
二、小结
行列式的两种定义，

。
行列式更一般的定义为
。
其中 。

§ 5 行列式的性质
一、 内容提要
1．性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等，即。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。
以表示行列式的第i行，以表示第i列。
互换第i行与第j行，记作；互换第i列与第j列，记作。
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式为零。
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘以此行列式。
即 ，
或 。
第i行乘以k，记作；第i列乘以k，记作。
推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
第i行提出公因子k，记作；第i列提出公因子k，记作。
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
性质5 如果行列式的某一列（行）元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和：
，
则D等于下列两个行列式之和
。
如果第i行的元素都是两数之和：
，
则D等于下列两个行列式之和
。
性质6 把行列式的某一列（行）各元素乘以同一数，然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
例如，以数k乘第i列加到第j列（记作）有

以数k乘第i行加到第j行（记作）有
。
2．常用结论：
如果 ， ， 。
则，
常记为 。
二、例题分析
例10 计算上三角行列式（主对角线以下元素全为0）

解： 利用性质1，得
。
例11 计算 。
解 。
（第二、三行元素成比例）
例12 计算 。
解：由性质5有
右边第一个行列式中，第一列乘加到第2、3列；在第二个行列式的第一列中提出得

。
例13 计算 。
分析：首先，利用性质将行列式化为型，再利用求出结果。
解：
。
三、小结
（1）行列式的六个性质、两个推论是计算行列式的理论保证，要尽快熟练掌握它们。
（2）。

§ 6 行列式按行（列）展开
一、内容提要
在n阶行列式中，划去所在的第i行和第j列的元素，剩余的元素按原有次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为。
称为的代数余子式。
定理3 n 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ；
或 。
推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素代数余子式乘积之和等于
零。即 ，
或 。
综合定理及推论，有展开式

或
其中
二、例题分析
在实际计算时，直接用定理展开行列式，通常并不能减少计算量，除非行列式中某一行（列）含有较多的0元素。因此，在具体计算时，我们总是先运用行列式的性质，将某一行（列）元素尽可能多地化为0，然后再利用定理，按该行（列）展开。
例14 计算行列式
。
解：

.
下面通过例题介绍利用性质、定理计算行列式的几种常用方法。
1．化为上三角行列式法
利用性质，把行列式化为上三角行列式，是计算行列式的基本方法。
例15 计算行列式

解：

在化为上三角行列式时，要从第一列开始，一列一列进行。在化第i列时，利用性质2选择好，以便化（）为0时，尽量避免出现分数，减少计算量。
例16 计算
解：
= 4
观察行列式，抓住其特点，是快速准确计算行列式的第一保证。
例17 计算
分析： 这个行列式有一个特点，各列4个数之和都是6。因此，把第2、3、4行都加到第一行，提出公因子6，然后再化简：
解：
= 48。
例18 计算 ，其中。
解：从第1行到第n行，依次提出公因子，得

。
2．拆分法
根据行列式的特点，利用性质5将行列式进行拆分计算。
例19 证明：。
证：左边

.
例20 计算行列式 。
解：按第1列拆分，

。
3．递推公式法
有时，根据行列式的特点，得到递推公式，计算出行列式。
例21 计算
解： 按第一列展开，得

将右端第二项的行列式按第一行展开，得

即
由此递推得
于是
从而
4．数学归纳法
数学归纳法也是计算行列式的常用方法。
例22 证明行列式
。
证：对阶数n使用数学归纳法。
当时，，故结论成立。
假设结论对的自然数都成立，下面要证对n也成立。为此将按第1列展开，得

上式右端的第1个行列式为，而第2个行列式按第1行展开其值为，所以有

。
计算行列式要充分利用已知结果。
例23 计算行列式
解：从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第行经次对换换到第2行…，经次行交换，得

此行列式为范德蒙德行列式

计算行列式，还应多进行一题多解。
例24 证明：。
解法1：用数学归纳法证明

假设对于阶行列式命题成立.
即

所以，对于阶行列式命题成立.
解法2：用递推法。
将按第1列展开，得

由此得递推公式： 。于是，

。
解法3：

.
解法4：将行列式按第n行展开也可以，读者自己试一试。
三、小结
行列式的计算方法灵活多样，技巧性强，前面所举例子的解法只是众多方法中的几种。读者可以想象并总结出另一些方法和技巧进行计算，并比较各种作法的繁简，逐步提高计算能力。

*补充 拉普拉斯（Laplace）定理
§6中的按行（列）展开定理只是把行列式按某一行（列）展开，下面再把它推广到按k行（k列）展开。首先应把元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。
定义 在n阶行列式中，任取k行与k列，将这些行与列相交处的元素按原来相对位置构成的k阶行列式
,
称为该行列式的一个k阶子式，记为N。划去这些行和列后所剩下的元素依原次序构成的一个阶子式，称为N的余子式，记为M。称为N的代数余子式。
例如，对四阶行列式
取第2、第3行与第2、第4列，得到一个二阶子式 。
N的余子式为。
N的代数余子式为。
一般在n阶行列式中取定k行，就有个k阶子式。
定理（Laplace定理） 在n阶行列式D中，任取k行（列），则由这k行（列）元素所有的k阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和等于行列式D。
设取定的k行的所有子式为N1，N2，…，Nt，其所对应的代数余子式分别为A1，A2，…，At，则

例1 用拉普拉斯定理计算

解： 选取第1、2行，只有3个非零二阶子式
， ， ，
其对应的代数余子式为
， ，
。
故 。

例2 计算2n阶行列式

解： 选取第n，n+1行应用拉普拉斯定理，只有一个非零二阶子式
，
其代数余子式为

故
利用这个递推公式及 ，得

。

§ 7 克拉默法则
一、内容提要
克拉默法则 如果n元线性方程组
（*)
的系数行列式不等于零，即

则方程组（*）有唯一解，且其解为
，，…，
其中是把的第j列各元素依次换成方程组的常数项所得到的n阶行列式，即
， ( j=1, 2 , … , n )
定理4 如果n元线性方程组（*）的系数行列式，则方程组（*）一定有解，且解是唯一的。
定理4ˊ如果n元线性方程组（*）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
定理5 如果齐次线性方程组
（**）
的系数行列式，则齐次方程组（**）只有零解。
定理5ˊ如果齐次线性方程组（**）有非零解，则它的系数行列式必为零。
二、例题分析
例25 求下列线性方程组的解

解：该方程组的系数行列式为范德蒙德行列式

。
方程组有唯一解。容易看出，也是范德蒙德行列式：

；

；

；

。
故方程组的解为
，，，。
例26 讨论为何值时，齐次线性方程组有唯一零解。

解：方程组的系数行列式

由此可知，当且时，D ≠ 0。此时，方程组有唯一零解。
例27 给定平面上三个点（1，1），（2，–1），（3，1），求过这三个点且对称轴与Y轴平行的抛物线方程。
解： 因为抛物线的对称轴与Y轴平行，因此可设所求抛物线方程为 ，
于是有

这是以为未知量的三元线性方程组，其系数行列式

最右边的行列式是范德蒙德行列式，所以

所以方程组有唯一解。
易得 ，
，
。
故 ，，
即所求抛物线方程为 。
三、小结
克拉默法则是线性方程组理论的一个很重要结果，它不仅给出了方程组（*）有唯一解的条件，并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系，在后面的讨论中，还会看到它在更一般的线性方程组的研究中也起着重要的作用。
克拉默法则求解线性方程组必须满足如下两个条件：
（1）方程组中方程的个数与未知量的个数相同；
（2）方程组的系数行列式。

习 题 一
(A组)
1． 利用对角线法则计算下列行列式：
（1）； （2）；
（3）； （4）
2． 用行列式解下列方程组：
（1） ， （2）。
3． 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）2 1 7 9 8 6 3 5 4 ； （2）2 4 6 ··· 2 n (2n –1) (2n –3) ··· 3 1 。
4． 在6阶行列式中，，这两项应带什么符号？
5． 计算下列行列式
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）。
6． 用克莱姆法则解下列方程组：
（1） ； （2）。
（B组）
7． 填空题：
（1）如果n阶行列式中，负项的个数为偶数，则n 。
（2）如果n阶行列式中等于零的元素个数大于，那么，此行列式的值为 。
（3）设，则 。
（4）设，则 。
（5）设，则 。
（6）设，则 。
8． 计算下列行列式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）。

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