高三数学基础知识总结-第十五章-复数.doc

高中数学第十五章 复数
考试内容：
 　 复数的概念．
　　复数的加法和减法．
　　复数的乘法和除法．
　　数系的扩充．
考试要求：
（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．
（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．
（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．
§15. 复 数 知识要点
1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.
⑵复数及其相关概念：
① 复数—形如a + bi的数（其中）；
② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；
③ 虚数—当时的复数a + bi；
④ 纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.
⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）
⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.
⑶两个复数相等的定义：
.
⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]
若，则.（√）
②若，则是的必要不充分条件.（当，
时，上式成立）
2. ⑴复平面内的两点间距离公式：.
其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.
由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.
⑵曲线方程的复数形式：
①为圆心，r为半径的圆的方程.
②表示线段的垂直平分线的方程.
③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.
④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.
⑶绝对值不等式：
设是不等于零的复数，则
①.
左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.
②.
左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.
注：.
3. 共轭复数的性质：

，（a + bi）

（）
注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]
4 ⑴①复数的乘方：
②对任何，及有
③
注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.
②在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.
⑵常用的结论：

若是1的立方虚数根，即，则 .
5. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：
①.
②若，是纯虚数.
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.
注：.
6. ⑴复数的三角形式：.
辐角主值：适合于0≤＜的值，记作.
注：①为零时，可取内任意值.
②辐角是多值的，都相差2的整数倍.
③设则.
⑵复数的代数形式与三角形式的互化：
，，.
⑶几类三角式的标准形式：

7. 复数集中解一元二次方程：
在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：
①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.
②当不全为实数时，不能用方程根的情况.
③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.
8. 复数的三角形式运算：

棣莫弗定理：
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