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九年级上教材介绍

第一章 图形与证明（二）

【设计思路】
本章是继八年级下册第十一章证明（一），从5个基本事实出发，证明本套教材前四册探索并获得的有关三角形、四边形的一个又一个结论的正确性.
本章对一些结论，课本仍创设了一些问题情境，为学生提供自主探索的空间，然后再进行证明，将探索和证明有机的结合起来，引导学生不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径.
本章的设计，较多的关注对学生思维能力的培养.课本设置了《思考与表述》、《证明的方法》两个栏目，引导学生不断的学会分析和综合的思考方法；课本配置了生活中运用分析法的和反证法的阅读材料，以帮助学生理解分析的思考方法和体会反证法的含义；课本为学生提供了将结论进行拓展和延伸以及探索多种证明思路的空间，以发展学生数学思考和多角度的思维能力.
本章由5小节和1个数学活动组成：
第1节证明等腰三角形的性质定理和判定定理、等边三角形的性质和判定定理、线段垂直平分线的性质定理.
第2节证明直角三角形全等的判定定理、角平分线的性质定理、三角形的三条角平分线交于一点，并通过简单的数学例子，渗透反证法.
第3节证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，利用矩形性质定理证明了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，并再一次通过简单的数学例子，引导学生体会反证法的含义.
第4节先回顾利用剪纸得到等腰梯形，然后证明等腰梯形的判定定理，引导学生主动发现添画辅助线的方法；对于等腰梯形性质定理的证明，课本用卡通人插话的方式，渗透转化的数学思想方法，引导学生自主探索证明的思路.
第5节通过回顾如何利用剪纸探索得到三角形中位线定理，促使学生借助直观的探索，进行抽象的证明.
数学活动选取了3个折纸活动，并通过证明来说明操作的合理性.再一次引导学生体会人们在探索和认识事物的过程中，常常交替地进行合情推理和演绎推理，它们相辅相成、密不可分.

【教学建议】
1. 教学中，要注重直观的探索与抽象的证明的有机结合，引导学生理解合情推理和演绎推理都是获得数学结论的重要途径，进一步体会证明的必要性，激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合法证明的信心.
2. 发展学生合乎逻辑的思考和有条理的表达的能力是本章教学的重点.教学中要进一步为学生的积极思考创设条件，为学生提供自主探索的空间，同时要鼓励学生进行不同证明思路的交流和讨论.
3.教学中要注重引导学生关注证明的出发点（源头）和过程（路径），不断的感受公理化方法.
4.教学中证明题的难度应与《标准》中要求证明的命题的论证难度相当.

【评价建议】
1.教学中应通过思考、交流、尝试等方式考查学生能否合乎逻辑的思考和有条理的表达，并对学生的表现给予肯定和表扬.
2.本章教学中，要求掌握综合法的证明格式，但应注意把握证明的实质，淡化形式的记忆，避免把证明的过程变成形式化的操作，考查的难度应适当.

第二章 数据的离散程度

【课标要求】
1． 从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据。 
2． 探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度。
3． 通过实例，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差。
4． 根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流。
5． 能根据问题查找有关资料，获得数据信息；对日常生活中的某些数据发表自己的看法。
6． 认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题
此外，在收集、整理、描述和分析数据、做出判断和预测活动的过程中，培养和发展统计观念。

【设计思路】
对于一个样本（或一组数据）和总体来说，我们不但要关心它的集中程度，而且还要关心它的离散程度。仅有“平均水平”还难以准确的刻画一组数据，我们还常常关注数据的“波动大小”。在统计中，极差、方差和标准差来是人们常用来刻画“波动大小”，表示数据的集中程度的统计量。极差、方差和标准差可以帮助我们更加全面的认识数据。
本章首先提出了实际生活中乒乓球直径抽样的两组数据与标准误差的比较问题。由于人们通常讨论与标准的误差情况的时候，除了关心直径是否平均达到标准，还要进一步关心误差的大小，因此，用什么样的数来表示误差的大小就成为一个需要思考的问题。通过观察统计图容易发现散点离开平均数的“远近”情况。通过引导与讨论，发现极差（即最大值-最小值）可以用来反映散点离开平均数的“远近”情况。然后结合日常生活中的实例，使学生加深对极差概念的理解，鼓励学生举一些极差应用的例子。
继续使用乒乓球直径的测量抽样的场景，引导学生发现极差只能反映一组数据中两个极端值之间的大小情况，而对其它数据的波动情况不敏感，易受特殊的影响。因此，有必要再找一个对整组数据波动情况更敏感的指标。教材提供了统计图、表格、卡通人等启发学生思考，教师引路，力求“自得”。通过一系列观察、思考、讨论活动，提出解决问题的门径，探索如何表示一组数据的离散程度，引导学生“自得”。有实际问题中的误差大小→数学上的各数据与平均数的差→解决作差有正负→求绝对值或平方→解决可能两组数据不一样多。
本章采用了一个统一的场景，引入极差、方差和标准差的概念，使学生在解决实际问题的过程中认识到离散程度的意义和影响，掌握利用计算器处理数据的基本技能。
通过本章的学习，使学生知道对于一个样本（或一组数据）和总体来说，我们不但要了解它的集中程度，而且还要了解它的离散程度。极差、方差和标准差可以帮助我们更加全面的认识数据，从而能对统计数据做进一步的处理并做出一定的推断、评论和预测。

【教学建议】
1．在教学法上，以学生合作探究活动为主。让学生的兴趣在了解探究任务中产生，让学生的学习在合作探究活动中进行，让学生的思考在分析真实数据中形成，让学生的理解在集体讨论中加深。
2．呈现的数据信息必须与学生的日常生活相联系，将统计的学习放在解决实际问题的情境中，使学生认识到统计在日常生活、社会及其他学科等方面有着广泛的应用，同时也有利于对数据进行分析和解释，发表对数据信息的理解、推理、评论和判断。
3．在教学中，应要求学生举例说明自己对问题的理解。
4．对于数据的收集，不是本章的教学重点。
5．对于学生用“平均差”来刻画一组数据的离散程度，教师应予充分肯定。指出其优越的一面，同时帮助学生认识到运算不便，且在衡量一组数据波动大小的“功能”上，方差更强些，须指出方差更为常用。
6．在极差和方差的处理上，需要提醒学生：极差只能反映一组数据中两个极端值之间的大小情况，而对其它数据的波动情况不敏感，易受特殊的影响；两组数据比较中，极差大的那一组并一定方差也大。在教学中可以提供一些数据或统计图表，让学生仔细体会极差和方差之间的区别和联系。
7．在本章教学中，通过实例与活动来理解极差、方差和标准差的概念，方差这部分内容的重点在于方差计算式的导出过程上，了解它们的意义、作用和区别，应避免单纯的数学运算，鼓励学生充分使用计算器或计算机处理复杂的数据。
8．对于同一组数据，不同的人从不同的角度可以得到不同的评判结果。学生的回答可以是多样的，只要学生说得有道理就应给予肯定和鼓励，注意把握学生思维的多样性和深刻性。对于刻画数据离散程度的三个量度的比较与选择应用，教学时应进行恰当定位，不要做不适当的拔高和加深。

【评价建议】

1．知识技能的评价。
主要评价学生，是否会求一组数据的极差、方差和标准差，能否解释计算结果的实际意义；能否熟练地运用计算器处理数据；能否多角度认识“波动大小”，了解它们的意义、作用和区别，并在解决具体问题时合理的应用。
鼓励学生思维的多样性，避免评价的统一性，只要学生的解释或评判有一定的道理，就应该给予肯定和鼓励。
2．参与程度的评价。
方差概念的引人是本章教学的难点和重点之一，应注意评价学生能否通过主动思考与探索，发现方差计算的合理性，体会方差的实际意义。
在探索与思考过程中，应注意评价学生投入的程度，遇到困难时的表现及克服困难的办法；在活动中表现出来的思维水平、表达水平等；怎样与别人合作交流，采纳意见与质疑。
3．统计观点的评价。
主要评价学生，遇到有关问题时，是否能想到运用数据进行探索研究与决策；描述数据所采用方法的有效性；对数据的认真科学的态度，是否有自己独特的见解，考虑问题的全面性等。

第三章 二次根式

【设计思路】
1. 学生在前面已经学习了平方根、算术平方根等概念 . 本章从已知正方形面积求正方形的边长开始，引入二次根式概念 .
2. 二次根式的主要内容为二次根式的四则运算，而二次根式乘除运算涉及到结果的化简 . 对于二次根式乘除运算结果的化简，涉及到根式的基本性质 . 二次根式加减运算涉及到最简二次根式、同类二次根式等概念 . 对于运算结果如何化简，什么才是最后结果？此外，在传统教学中，分母有理化也是重要的内容 . 这些内容如何有机协调呢？
3. 为了满足《课标》和课时的限制，我们采取抓住主要内容、理解本质、淡化概念的处理手法编写本章教科书 . 抓住主要内容指抓住“二次根式四则运算”的核心内容，理解本质指理解“二次根式乘除、加减运算”的本质，淡化概念指对传统教学中关注较多的“二次根式、最简二次根式、同类根式、分母有理化”等概念进行淡化，把学生的注意力集中在二次根式的运算上 .
4. 本章难以处理的问题还包括：根式的性质=,如何讲解？二次根式运算结果如何处理？这些问题要讲清楚需要很长的篇幅，而且与课标相违背 . 教科书在处理这部分内容时，主要思路为：
先从平方根出发介绍二次根式的概念，并给出两个重要性质：
当a ≥ 0时，
关于二次根式乘除的处理：通过“实践与探索”活动，让学生归纳出，并分别给出不要化简的简单例子练习运算法则 . 为了进行一般的乘除运算，需要进行相关化简，教科书给出乘除运算公式的逆用.
关于运算结果的处理，原则上可以保留各种形式，但考虑到数学结果的简单性，教科书在不给出更多规则与概念的情况下，采取利用例子直接说明的方式，对运算结果提出几条建议：
“一般地，根式运算的结果中，被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式 .”
“一般地，根式运算的结果中，要求分母不含有根号，被开方数中也不含有分母 .”
怎样做到后面这条呢？教科书通过两个“思考与探索”给出方法：，这些地方将传统的化简方法进行简化，但教学时不要让学生背诵结论，关键还是方法本身 .
5. 没有“最简二次根式”概念，“同类二次根式”概念怎样介绍给学生呢？教科书采取通过实际例子让学生进行直观感知的方式，避开“最简二次根式”概念，直接让学生接触“同类二次根式”概念，并借助于整式加减运算方法给出二次根式加减运算方法 . 在教学这些内容时，不要过分挖概念，关键是通过例子让学生明白运算法则.
【教学建议】
根据上述设计，在教学时应注意以下问题：
1. 在教学时要抓住主要内容、理解本质、淡化概念 . 抓住二次根式四则运算的核心内容，理解二次根式乘除、加减运算的本质，淡化“二次根式、最简二次根式、同类根式、分母有理化”等概念，把学生的注意力集中在二次根式的运算上 .
2. 本章有关结论是通过归纳或类比得到的，关键在于运用这些结论去进行运算，因此这些结论带有公理性质 . 教学时要通过大量的例子让学生得到结论并运用运算法则进行运算 .
3. 本章中有关习题的运算结果的形式，可以适当放宽，允许分母中含有根号 . 但随着学习的深入，应使学生逐步规范 .
4. 关于分母有理化的内容，教科书是通过阅读形式让学生有所了解，基本上可以保证高中阶段的学习，不必再作扩充 .
5. 本章的例题、习题选择应特别谨慎 . 因为传统教材对此内容阐述较多，计算量也较大 . 而本章的重点是二次根式的四则运算，其他内容应尽量减少 . 因此，运算应尽可能简单 .
【评价建议】
1. 评价学生能否了解本章的有关概念 . 本章的几个基本概念应通过具体的例子来反映，因此，学生只要能识别、判别就足够了 . 不要在概念的定义上进行过多的挖掘 .
2. 评价学生对运算法则的掌握情况 . 本章的运算法则是学生学习的核心内容，对学生的学习水平的评价应通过具体的运算来进行，而不是让学生简单背诵、复现有关法则和公式 .
3. 评价学生学习过程与方法 . 在本章中蕴涵大量的探究过程,在探究过程中,学生要多次使用观察、归纳、概括、抽象、类比等数学思想方法 . 在教学过程中，除了评价学生是否获得相关知识、技能外，同时

第四章 一元二次方程
【设计思路】
方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等知识，感受了方程的模型作用和价值，积累了一些利用方程解决问题的经验．但方程模型是丰富多彩的，一元二次方程是以前学过的方程知识的延续和深化，它在现实生活以及数学中同样有者广泛的应用，它也是以后学习其他数学知识的基础．
本章的总体设计思路，遵循了“问题情境—建立模型—拓展、应用”的模式．教材从内容安排上分，共分为三部分：
1．从问题到方程：紧密联系实际，创设具有时代气息以及学生感兴趣的问题情景，通过丰富实例，引出一元二次方程，展现一元二次方程是刻画现实世界的有效数学模型，让学生体会一元二次方程与现实世界的密切联系．
2．解方程：解决数学内部问题——解方程，主要让学生探索一元二次方程的解法，使学生在尝试、探索、比较等活动中，发现解一元二次方程的基本方法——直接开平方发、配方法、公式法、因式分解法，体会与一元一次方程知识联系和转化，体会几种解法之间的相互联系．
3．用方程解决问题：设置了一些有一定挑战性和思考性的现实问题情境，通过解决这些丰富多彩的、贴近学生生活的实际问题，强化方程的模型思想，而且通过学生的自主探索研究，培养学生的分析问题、解决问题的能力，获得更多的解决问题的方法和经验，更好地体会数学的价值，同时也进一步提高学生解方程的技能．
【教学建议】
1．设置丰富的问题情境，内容的选择和呈现要关注现实意义和学生的经验及兴趣，使学生多一些经历知识的形成和应用过程，多一些经历模型化的过程，进一步培养学生分析问题和解决问题的能力，进一步体验建模过程，从而更好地理解方程的意义和价值．
2．鼓励学生的自主探索和合作交流．学生已具备有关一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程的知识和经验基础，学生应该有能力通过自主探索和合作交流列出一元二次方程，解决简单的实际问题．教学过程中教师要注重学生的活动，积极创设有利于学生的自主探索和合作交流的氛围，鼓励学生进行探索和交流，激发学生学习的主动性和探究性，而在如何寻找实际问题中的相等关系的分析方面教师要进行适时的引导和启发．
3．解方程教学中要突出化归或转化思想．本章反映转化思想方法的内容十分广泛．如配方法体现了数学式子的转化，公式法直接利用公式把方程中的“未知”转化为“已知”，分解因式法通过“降次”，把一元二次方程转化为两个一元一次方程等．教学中应根据具体情况，适时渗透、突出运用转化的思想方法．同时要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，注重一元二次方程几种解法之间的相互联系和差别，领会不同方法的特点和本质．．
4．突出解决问题过程中的关键因素—寻找蕴涵在具体问题中的相等关系，要因势利导，设置恰当的问题，引导学生分析问题中的各类数量关系，寻找能表示问题全部意义的相等关系，对不同的学生，搭设不同的台阶，使学生能拾级而上，解决问题．
5．恰当把握知识和技能的要求．
教学过程中，应避免过多进行单纯的形式化的操练，而应注意方程在实际问题中的应用，将知识技能的培养如何融合于问题解决的过程中．方程的难度也应控制在教材相当的水平上．对于与一元二次方程相关的传统的教学内容：一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系，在教材中略有涉及，但没有作具体的研究，在教学中不必作过多的拓展和引申．
【评价建议】
1．恰当考查学生的知识、技能，关注学生对知识与技能的理解和应用，在解方程部分有针对性地加强基础性练习，鼓励学生根据实际问题，灵活选择解方程的方法，在利用一元二次方程解决问题的教学中，所选的例题和习题的难度水平要适度，应停留在简单的实际问题这一层面上．对于方程的解法，也不要单纯地考察学生解方程的速度和数量，应注意在实际问题中的应用．考查学生能否根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求解．
2．在一系列的活动过程中，评价的着眼点不能仅仅是学生能否找到相等关系、能否根据实际问题正确地建立一元二次方程模型，列、解方程的正确与否，还要关注学生参与活动的程度，如在学习过程中的主动性、独立思考与认真程度；在活动中表现出来的思维水平．如学生在活动中的投入程度以及学生在活动中思考问题的准确性、广阔性、灵活性．
3．重视学生应用方程解决问题的能力的评价，关注学生的数学应用意识的提高状况．教学中，可以安排学生现实的调查活动，自编一些有关一元二次方程的应用问题，并从这些应用问题中考察学生的应用意识的水平和解决问题的能力．
应及时地对学生在这些过程中的表现给予评价 .

第五章 中心对称图形（二）

【设计思路】
本章是在学习了直线型图形的有关性质和判定的基础上，来探索一种特殊的曲线型图形----圆的有关性质.
圆既是中心对称图形，又是轴对称图形. 同时，圆还具有旋转不变性，即绕圆心旋转任意角度都能与原来的图形重合. 圆的这些特征，是研究圆的有关性质的基础.
本章由4个单元组成.
第一单元是圆的有关性质. 课本在给出圆的概念后，首先研究了圆的对称性，并以此作为研究圆的有关性质的基础.
第二单元是直线与圆的位置关系. 课本通过操作、观察直线与圆的相对运动，揭示直线与圆的三种位置关系，探索直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离与半径间的大小关系的联系，并突出研究了圆的切线的判定和性质.
第三单元是圆与圆的位置关系. 与第二单元相同，课本通过操作、观察圆与圆的相对运动，揭示圆与圆的五种位置关系，探索圆与圆的位置关系和圆心距与两圆半径间的大小关系的联系.
第四单元是正多边形和圆. 课本在引入正多边形概念的基础上，利用正多边形与圆的关系，解决有关作图问题. 同时，在小学学习圆的周长和面积公式的基础上，通过研究整体与局部的关系，得出弧长及扇形面积的计算方法，并探索圆锥侧面积的有关计算问世题.
在学习这本章之前，学生通过对称、平移、旋转、说理等方式认识了许多图形的性质，积累了一定的数学活动经验. 在本章的设计中，充分体现了学生已有经验的作用. 例如，用对称变换的方法探索垂径定理，然后说明其理由；用旋转变换的方法探索圆心角、弧、弦之间的相等关系，然后说明其理由；用说理的方法研究圆周角与圆心角之间的数量关系，其说理过程体现了非常典型的分类、转化思想；用对称变换及反证的思想研究切线的性质、切线长定理；用运动的观点研究直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律.
对弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积的计算，注重让学生经历弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算公式的探索过程. 因此，“弧长与扇形的面积”、“圆锥的侧面积和全面积”，教学中，不仅要求学生会算，而且应要求学生理解公式的意义，理解算法的意义.

【教学建议】
本章中，课本为学生提供了生动的现实情境和丰富的操作实践活动. 教学中，要充分运用提供的情境和实践活动材料，积极引导学生从事观察、测量、折叠、平移、旋转、推理证明等活动，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验. 教学中，应鼓励学生动手、动口、动脑和交流.
本章中，课本注重突出圆的有关性质、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、直线与相切的性质与判定的探索过程. 教学中，要充分展示“观察、操作---猜想、探索----说理（有条理地表达）”的认识过程，使学生能在直观的基础上学习说理，体现合情推理与演绎推理的融合，促进学生形成科学地、能动地认识世界的良好品质.
“观察、操作---猜想、探索----说理（有条理地表达）”的认识过程中，要注意引导使学生有意识地反思其中所渗透的数学思想方法，发展学生的思维品质.
本章中，圆的有关性质，直线与圆、与圆的有关计算，是本章的重点. 其中，圆的有关性质，是本章的基础，也是学好本章的关键.
本章的复习题有的是面向全体学生，帮助他们熟悉、巩固新学的知识、技能和方法，加深对相关知识、方法的理解，属于基本要求；有的是面向学有余力的学生，帮助他们进一步理解、研究相关知识、方法，属于较高要求，并不要求全体学生都能完成.
教学中，要充分运用现代信息技术，丰富学生的学习资源，生动形象地展示图形.